电磁场与电磁波《谢处方版》Chapter1.ppt

2005-8-28 §1.4-3 高斯定理 高斯定理: 通过闭合曲面S 的矢量a的通量，等于矢量a的散度?·a对S所包围的体积的积分。 在S内部矢量是连续的，并具有连续的一阶偏导数。 证明：总体积V分为体积元dV1,dV2….通过每个体积元对应的曲面的通量，由散度定义： 相邻体积元公共面的通量等大小、反符号，求和抵消。只有S面上的通量，因此： §1.4-3 高斯定理 例：求（1）矢量a=x2i+(xy)2j+24x2y2z3k的散度。 （2）?·a 对中心在原点的一单位立方体的积分 （3）a对上述立方体表面的积分 解：（１） §1.4-3 高斯定理 （2） §1.4-3 高斯定理 （3） §1.4-3 高斯定理 §1.5矢量的环量、旋度 矢量a沿闭合曲线C的线积分称为a的环路积分（环流量）： 闭合曲线C，及其包围的面元?S ，n 为?S 的右旋单位法向矢量。 ?S 趋于0，环积分也趋于0， 其比的极限为矢量a 的旋度在n 上的投影。 矢量场 的旋度也是矢量场。 如果场内rota=0 总是成立，则该矢量场无旋。 空间中一点环流状态 在直角坐标系中，旋度的表示 xy 上面元?Sz, 在点A(x,y,z)矢量值a=axex+ayey+azez a沿l1 , l2, l3 , l4 积分： 矢量a的分量： 沿l1 : ax(x,y,z) 沿l2 : ay(x+ ?x,y,z) 沿l3: ax(x,y ?y,z) 沿l4: ay(x,y,z) 泰勒级数展开： x z ?x ?y a y A l1 l2 l3 l4 a l3 与a 方向 §1.5矢量的环量、旋度 因此旋度在z轴投影（分量）： 指面元法向沿z轴 同理可得x, y轴分量 旋度表达式： §1.5矢量的环量、旋度 用哈密顿算符表示： 用行列式表示： §1.5矢量的环量、旋度 旋度满足： 旋度的散度恒为零 常用公式： 磁矢势的引入 §1.5矢量的环量、旋度 证明常用公式： §1.6 斯托克斯定理 斯托克斯定理: 闭合曲线C与通过此曲线所张开的任意曲面S，有 闭线积分与开面积分的互化。 证明： C S 分为微元dSi和闭合曲线Ci，由旋度定义： 即： 微小环量相加，公共边抵消，余下部分为闭合回路C： 而 可得斯托克斯定理 §1.6 斯托克斯定理 * * 电磁场和电磁波 谢处方编 第4版2006年 高等教育出版社 72 学时 §1 矢量分析 §1.1 标量场和矢量场 §1.1-1 标量 仅由数量确定的物理量。 如质量、长度、面积、时间、温度、电压、电量、电流、能量。 §1.1-2 矢量 由数值和方向确定的物理量称为矢量或向量。 表示方法：黑体字母（a），或字母上加箭头（ ）。 矢量的模：矢量的数值大小。表示为： §1.1-2 矢量 三维空间内：有向线段的长度表示量的模；箭头表示量的方向。 a A O ? ? x y z ? ax ay az 模： 各分量： 因此： §1.1-2 矢量 单位矢量：模为1的矢量。e记为: e=a/a 矢量可表示为其直角坐标分量形式： ：x,y,z 坐标的单位矢量。 矢量相等：等大小，同方向。 -a表示与a反向。 §1.1-3 标量场 场：物理量在时空坐标内的分布，即物理量的时空函数。 标量的时空函数叫标量场。标量函数?(x,y,z,t) 静态场: 标量场与时间无关， ?(x,y,z) §1.1-3 矢量场 矢量的时空函数叫矢量场。矢量函数F(x,y,z,t) 静态场: 矢量场与时间无关， F(x,y,z) 三维空间中，可用三个分量的表达形式： §1.2 矢量运算 §1.2-1 矢量加法 两个矢量的合成：平行四边法则，或三角形法则。记为 b a c=b+a 坐标中， 对应分量（同方向）相加 §1.2-1 矢量加法 矢量加法满足交换率结合率： 矢量减法是加法的逆运算： 若 §1.2-2 矢量数乘 矢量a与实数?的乘积。结果仍为一矢量? a。 其模： 方向： 同向 反向 坐标中分量表达： 满足分配率： §1.2-3 矢量标乘（点乘） 两矢量的点乘：等于两矢量模之极乘以两矢量夹角的余旋，为一标量。 在坐标中分量表达： 由 和 得 §1.2-3 矢量标乘（点乘） 点乘满足： §1.2-4 矢量矢积（叉乘） 两矢量a、 b的矢积：其结果为一矢量c。矢量c的模等于两矢量模之极乘以两矢量夹角的正旋；矢量c的方向与a、 b方向满足右手定则。 矢量c垂直于a、 b a b c 矢积满足： §1.2-4 矢量矢积（叉乘） §1.2-4 矢量矢积（叉乘） 分量表达： 展开得： 行列式表达： 或 §1.2-4 矢量矢积（叉乘） 例：矢量a=2ex-6ey-3ez和b=4ex+3ey-ez，确定一