第二章3向量组的秩（课件）.pptVIP

* §3 向量组的秩 定义如果向量组I: 的部分组II 具有性质 (1) II线性无关； (2) I的每个向量都可以用II线性表示。 则说II是I的一个极大线性无关组. 在用矩阵消元法解线性方程组时，往往最后几行是零行，说明这几行是前几行的线性组合，而前几行呈阶梯形是线性无关的，求出一个向量组的含向量最多的线性无关部分向量组在应用和理论上是极端重要的。 * * (2) 可以改为 (2*) II 添加另外的向量就得到线性相关的向量组。 例 线性无关， 是的一个极大无关组. 和 也是I的极大无关组。可见一个向量组的极大无关组不是唯一的，这个例子中的几个极大无关组都含有两个向量，这一点不是偶然的，而且是本质的。 为了深入研究极大无关组的性质，我们引进下列定义。 * * 定义 给定两个向量组 如果I的每一个向量可以用II线性表示，则说I可用II线性表示，如果I和II相互可以线性表示，则说两个向量组I和II等价，记作I~II.向量组的等价关系具有下列性质： 定理 向量组和其极大无关组等价. 由极大线性无关向量组定义直接可得 (1)(反身性)I~I (2)(对称性)若I~II ，则 II~I; (3)(传递性)若I~II,II~III，则 I~III. * * 定义 给定一个向量组， (1)交换两个向量的位置； (2)一个向量乘以非零数； (3)一个向量加另一个向量的倍数 称为向量组的初等变换。 定理 向量组经过初等变换得到与之等价的向量组. * * 定理 两个等价向量组的各自的极大线性无关组的向量个数相等. 证明 设I*是向量组I的一个极大无关组，II*是向量组II的一个极大无关组，I*和II*的向量个数分别是r和s. I*~I~II~ II*.如果rs,则I*线性相关，故r≦s.同理s ≦ r,故r=s. 定理 任何线性无关向量组可以扩充为一个极大线性无关无关组.含有非零向量的向量组含极大线性无关组. * 定义 一个含有非零向量的向量组I的任何一个极大无关组的向量个数称为向量组的秩，仅含零向量的向量组的秩规定为0。I的秩记为r(I). 定理 等价向量组的秩相等. * 线性相关 线性无关 1.存在不全为0的 使得 1.若 则 2以 为系数列向量的 齐次方程组有非零解 2.以 为系数列向量的齐次方程组只有零解 3.s≧2时每个向量不能用其余向量线性表示 3.s≧2时某个向量能用其余向量线性表示 4. 以s个s维向量 作为行向量的行列式=0. 4.以s个s维向量 作为行向量的行列式≠0. 5.方程 有非零解 5.方程 只有零解 6. 6. * 例 设向量组 的秩为r,证明 I 中任意r个线性无关的向量都组成它的一个极大线性无关组. 证 不妨设 是I的一个极大线性无关组,而 是I中r个线性无关的向量.任取向量 ,则 可用 线性表示,r+1r, 线性相关,但 线性无关,故 可用 线性表示.此即表明 是I的的一个极大线性无关组. * 线性相关充分必要条件是 * 向量组I 可用II 线性表示,则 I的极大线性无关组I*,II的极大线性无关组II*,向量个数分别是r和s.I*可用I线性表示,I可用II线性表示,II可用II*线性表示,I*可用II*线性表示,如果rs, I*线性相关，矛盾。 * 作业 习题二 17,18,19,23