第4讲导数及其应用(教师).docVIP

专题 1　函数与导数、不等式 第4讲 导数及其应用 一．瞄准高考 一、导数的几何意义 f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)． 二、导数运算 1．求导公式 (1)C′=0(其中C为常数)；(2)(xn)′=nxn-1(n∈Q)；(3)(sinx)′=cosx；(4)(cosx)′=－sinx； (5)(ln x)′=eq \f(1,x),(logax)′=eq \f(1,x)logae；(6)(ex)′=ex,(ax)′=axln a. 2．导数的四则运算法则 (1)(u±v)′=u′±v′；(2)(uv)′=u′v＋uv′； (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′=eq \f(u′v－uv′,v2)(v≠0)． 三、导数的应用 1．利用导数判断函数的单调性： 在某个区间内,如果f′(x)0(f′(x)0),那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数,则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)． 2．求函数的极值． 使f′(x)=0的根x0不一定是极值点,还必须检验f′(x)在x=x0左右两侧的符号,若左正右负则有极大值,左负右正则有极小值． 3．求函数的最值． 连续函数在闭区间[a,b]上必有最大值、最小值,先求出使方程f′(x)=0的所有点的函数值,再与端点函数值比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值． 4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题． 二．解析高考 题型一　导数的几何意义 例1 (2010·湖北卷)设函数f(x)=eq \f(1,3)x3－eq \f(a,2)x2＋bx＋c,其中a＞0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1. (1)确定b、c的值； (2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),证明：当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)． 【解答】 (1)由f(x)=eq \f(1,3)x3－eq \f(a,2)x2＋bx＋c得f(0)=c,f′(x)=x2－ax＋b,f′(0)=b. 又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f′(0)=0,故b=0,c=1. (2)f(x)=eq \f(1,3)x3－eq \f(a,2)x2＋1,f′(x)=x2－ax, 由于点(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)=f′(t)(x－t),而点(0,2)在切线上, 所以2－f(t)=f′(t)(－t),化简得eq \f(2,3)t3－eq \f(a,2)t2＋1=0,即t满足的方程为eq \f(2,3)t3－eq \f(a,2)t2＋1=0. 下面用反证法证明 假设f′(x1)=f′(x2),由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2), 则下列等式成立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x\o\al(3,1)－\f(a,2)x\o\al(2,1)＋1＝0，?1?,\f(2,3)x\o\al(3,2)－\f(a,2)x\o\al(2,2)＋1＝0，?2?,x\o\al(2,1)－ax1＝x\o\al(2,2)－ax2，?3?)) 由(3)得x1＋x2=a,由(1)－(2)得xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2)=eq \f(3,4)a2,(4) 又xeq \o\al(2,1)＋x1x2＋xeq \o\al(2,2)=(x1＋x2)2－x1x2=x1－eq \f(a,2)2＋eq \f(3,4)a2≥eq \f(3,4)a2, 故由(4)得x1=eq \f(a,2),此时x2=eq \f(a,2)与x1≠x2矛盾,所以f′(x1)≠f′(x2)． 【点评】 导数几何意义的应用要注意抓住两点：一是切点处的导数就是切线的斜率;切点坐标同时适合曲线方程和切线方程．二是正确区分“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”两个不同的概念及相应不同的解法．在以后的解题中,同学们应尽量避免审题和解题失误,以不变应万变,真正达到活学活用的目的． 【变式】已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0)的图象也相切．则m的值为________． －2　【解析】 ∵f′(x)=eq \f(1,x),直线l是函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线, ∴