大数定律与中心极限定理41特征函数.PDF

第四章 大数定律与中心极限定理 一、教材说明 本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性 的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理 涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛 的应用。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数； （2 ）使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念，会熟练运用几个 大数定律证明题目； （3 ）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。 本章的教学要求是： （1）理解并会求常用分布的特征函数； （2 ）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目； （3 ）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目； （4 ）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。 2、重点与难点 本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定 律和中心极限定理的应用。 二、 教学内容 本章共分特征函数、大数定律、随机变量序列的两种收敛性，中心极限定理等4 节来 讲述本章的基本内容。 4.1 特征函数 一、特征函数的定义 1.定义 4.1.1 设X 是一个随机变量，称(t)=E(eitX ) ，- ∞ t + ∞，为X 的特征函数。 注 因为 eitX 1 ，所以E(eitX ) 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的。 - 1 - 2.特征函数的求法 （1）当离散随机变量X 的分布列为P = P （X = x ) ，k 1，2 ，…，则X 的特征函数 k k 为  φ(t) eitxk Pk ，- ∞ t + ∞ 。 k 1 （2 ）当连续随机变量X 的密度函数为p (x) ，则X 的特征函数为  φ(t)  eitxP (x )dx ，- ∞ t + ∞ 。 例4.1.1 常用分布的特征函数 (1) 单点分布：P( X = a) = 1 ，其特征函数为 φ(t) = eita 。 x 1 – x (2) 0 – 1 分布：P( X = x) p (1 - p) ，x = 0 ，1，其特征函数为 it φ(t) = pe + q ，其中 q = 1 –p 。 k (3) 泊松分布 P(λ) ：P( X = k) =  e ，k = 0 ，1，…，其特征函数为 k ! 