【毕业论文】不等式的证明论文.doc

l 甘肃联合大学学生毕业论文 题 目 不等式的证明 作 者： 指导老师： 师范 学院 数学 系 数学教育 专业 10 级 3 年制 4 班 2013年 5 月 1日 不等式的证明方法 摘要： 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面就不等式的证明方法列举如下。 关键词： 比较法；综合法；分析法；换元法；增值代换法；利用“1”的代换型；反证法； 放缩法；构造函数法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法[1]是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c均为正数，求证： 证明：∵a,b均为正数;∴ 同理， 三式相加，可得 ∴ 综合法 综合法[5]是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a、b、，，求证： 证：∴ 3、设、、是互不相等的正数，求证： 证：∵ ∴ ∵ 同理： ∴ 4、 知a,b,c，求证: 证明：∵ 即，两边开平方得 同理可得三式相加，得 5、且，证：。 证： 已知 策略：由于 证明：。 三、分析法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7、已知、、为正数，求证： 证：要证：只需证： 即：∵ 成立∴ 原不等式成立 8、且，求证。 证：即： ∵ 即∴原命题成立 四、换元法 换元法[2]实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9、，求证：。 证明：令 左 ∴ 10、，求证： 证：由设，∴ ∴ 11、已知abc,求证： 证明：∵a－b0, b－c0, a－c0 ∴可设a－b=x, b－c=y (x, y0) 则a－c= x + y, 原不等式转化为证明即证，即证 ∵∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立） 12、已知1≤x＋y≤2，求证：≤x－xy＋y≤3． 证明：∵1≤x＋y≤2，∴可设x = rcos，y = rsin，其中1≤r≤2，0≤＜． ∴x－xy＋y= r－rsin= r(1－sin)，∵≤1－sin≤，∴r≤r(1－sin)≤r，而r≥，r≤3∴ ≤x－xy＋y≤3． 13、已知x－2xy＋y≤2，求证：| x＋y |≤． 证明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可设x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜． ∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤． 14、解不等式＞ 解：因为=6，故可令 = sin，＝ cos，∈［0，］ 则原不等式化为 sin－ cos ＞所以 sin ＞+ cos 由∈［0，］知+ cos＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos2+4 cos－23＜0 解得0≤cos＜所以x＝6cos2－1＜，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ . 15、－1≤－x≤． 证明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x = cos，其中0≤≤． 则－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤， ∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤． 五、增量代换法[3] 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16、已知a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥． 证明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴设a =＋t，b=－t， (tR) 则(a＋2)＋(b