【毕业论文】不变子群的判别条件.docVIP

PAGE PAGE 1 不变子群的判别条件 (西北师范大学数学系 ) 摘 要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系 一、准备知识 设是的一个子群，如果对,都有,那么，就说是 的一个不变子群. 记为：. 设和是群中的两个元素，如果在中至少可找到这样的一个元 素，使，则称与在中共轭. 3．正规化子：N(H)={g∈G︱H=H}={g∈G︱gHg=H} 称H在G中的正规化子。 4．同余关系：设集合A中有二元运算，记作乘法，若A的一个等价关系R满足：aRb, cRd acRbd a,b,c∈A 则称R为A的一个同余关系。 判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程. ㈠．与定义等价的判别条件 1.HG，即a∈G, 有aH=Ha 2.a∈G,有aHa=H 3.a∈G,有aHaH 4.a∈G,h∈H,有aha∈H 5.a∈G,有aHHa 6.a∈G,有HaHa 7.aHbH=abH, a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9.a∈G,有aHa=H 10.a∈G,有aHaH 11.a∈G,h∈H,有aha∈H 12.a∈G,有HaaH 13.a∈G,有HaHa 14.HaHb=Hab, a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当ab∈H，所定义的关系R为同余关系 18.N(H)=G 19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)H。即H由G的若干整个的共轭类组成。 证明上述条件的等价性，在此采用两种证法. 证法1： 证明思路：2←→9，3←→10，4←→11，5←→12，6←→13，7←→14，8←→15 8 17 ↓↑ ↓↑ 18 ←→ 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 1 ←→ 19 ↓ ↑ ↑ ↓ 7 → → → → → ← ← ← ←16 证明过程： 2 9:a∈G,有aHa=H, 故a(aHa)a=aHa aHa=H 9 2:a∈G,有aHa=H, 故a(aHa)a=aHa aHa=H 3 10:a∈G,有aHaH aha∈H aha=h h,h∈H h=aha aha∈H aHaH 10 3:a∈G,有aHaH aha=h h,h∈H h=aha aha∈H aHaH a∈G 4 11:a∈G, h∈H, 有aha∈H aha=h h∈H aha=h aha∈H h∈H 11 4:a∈G,h∈H, 有aha∈H aha=h h∈H aha=h aha∈H h∈H 5 12:a∈G，有aHHa ah=ha h,h∈H ha∈aH HaaH 12 5:a∈G，有HaaH ha=ah h,h∈H ah∈Ha aH Ha 6 13:a∈G,有HaHa h∈aHa h=aha h,h∈H h=aha h∈aHa HaHa a∈G 13 6:a∈G，有HaHa aHaa(aHa)a 即aHaH aha=h h,h∈H h∈aHa HaHa a∈G 7 14:∵aHbH=abH,a,b∈G H(aHbH)H=H(abH)H HaHb=Hab,a,b∈G 14 7:∵HaHb=Hab,a,b∈G H(aHbH)H=H(abH)H aHbH=abH,a,b∈G 8 15:H在G 中的每个左陪集都是一个右陪集，即a∈G, 有aH=Ha 故Ha=aH a∈G 即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 1 2:由H是G的不变子群，即a∈G,有aH=Ha,于是aHa=Haa=He=H 2 3:a∈G,有aHa=H, 显然aHaH 3 4:a∈G,有aHaH 故a∈G, h∈H有aha∈H 4 5:a∈G, aha∈H ah∈Ha h∈H aHHa 5 6:a∈G, aHHa a(aH )aHa HaHa a∈G 6 1:a∈G, 有HaHa h∈aHa h=aha a