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本节介绍用跟参广义积分表达的两个特殊函数
§3 Euler积分
本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即和. 它们统称为
Euler积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.
一. Gamma函数
考虑无穷限含参积分
,
当时, 点还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来
讨论其敛散性 .
: 时为正常积分 .时, .利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到 时积分收敛 . (易见
时, 仍用Cauchy判别法判得积分发散 ). 因此, 时积分收敛 .
: 对R成立,.因此积分
对R收敛.
综上 , 时积分收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义了内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为, 即
= , .
函数是一个很有用的特殊函数 .
2. 函数的连续性和可导性:
在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分在内收敛, 但在点发散, 则积分在内非一致收敛 .
但在区间内闭一致收敛 .即在任何上 , 一致收敛 . 因为时, 对积分 , 有, 而积分收敛.
对积分, , 而积分收敛. 由M—判法, 它们都一致收敛, 积分在区间上一致收敛 .
作类似地讨论, 可得积分也在区间内闭一致收敛. 于是
可得如下结论:
的连续性: 在区间内连续 .
的可导性: 在区间内可导, 且
.
同理可得: 在区间内任意阶可导, 且
.
3. 函数的凸性与极值:
, 在区间内严格下凸.
( 参下段 ), 在区间内唯一的极限小值点( 亦为
最小值点 ) 介于1与2 之间 .
4. 的递推公式 函数表:
的递推公式 : .
证
.
.
于是, 利用递推公式得:
,
,
, …………, ,
一般地有 .
可见 , 在上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 , 易见对,该定义是有意义的. 因此, 可视为内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上, 于是, 自然就有
, 可见在初等数学中规定 是很合理的.函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了函数表供查. 由函数的递推公式可见, 有了函数在内的值, 即可对, 求得的值. 通常把内函数的某些近似值制成表, 称这样的表为函数表 .
5. 函数的延拓:
时, 该式右端在时也有
意义 . 用其作为时的定义, 即把延拓到了内.
时, 依式 , 利用延拓后的, 又可把延拓到
内 .
依此 , 可把延拓到内除去的所有点. 经过如此延拓后的的图象如[1] P347图表21—4.
例1 求, , . ( 查表得.)
解
.
), .
.
6. 函数的其他形式和一个特殊值:
某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为函数 . 倘能如此, 可查函数表求得该积分的值.
常见变形有:
ⅰ 令, 有 =,
因此, , .
ⅱ 令 .
注意到[1] P277 E7的结果, 得的一个特殊值
.
ⅲ 令, 得 . 取, 得
.
例2 计算积分 , 其中 .
解 I.
二. Beta函数——Euler第一型积分:
1. Beta函数及其连续性:
称( 含有两个参数的 )含参积分 为Euler第一型积分. 当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分. 下证对, 该
积分收敛. 由于时点和均为瑕点. 故把积分分成和考虑.
: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散 ).
: 时为正常积分; 时, 点为瑕点. 由被积函数非负,
和 ,
( 由Cauchy判法) 积分收敛 . ( 易见时积分发散 ).
综上,
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