（毕业设计论文）《数学归纳法及其若干表现形式》.docVIP

PAGE 数学归纳法及其若干表现形式 摘要：数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，它在数学各个分支里都有广泛应用，该法的实质在于将一个无法（或很难）验证的命题转化为证明两个普通命题：“P(1)真”和若P（k)真，则P(k+1)真”，从而达到证明的目的。在不同的情况下应用时，它可以具有各种不同的形式，但其基本思想是相同的。 关键词：数学归纳法 整除性 不等式 数列 行列式 引言 数学归纳法是一种数学证明方法.典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是著名的结构归纳法。数学归纳法的思想可以远推至欧几里得﹝前330-前275﹞。严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的。1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了等著名论断；法国著名数学家帕斯卡﹝1623-1662﹞承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人。由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J?伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著《猜度术》﹝1713﹞中包含运用数学归纳法证题的出色例子。“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德?摩根﹝1806-1871﹞所提出的。皮亚诺﹝1858-1932﹞的自然数公理中就包含了归纳原理。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurice 的Arithmetic rum Libra duo (1575年)。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由以下两个步骤组成的.（1）、递推的基础：证明当时表达式成立；（2）递推的依据:证明假设当时表达式成立，那么当时表达式也同样成立.（递推的依据中的“假设”为归纳假设，而不要把整个第二步都称为归纳假设）.归纳假设这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明是成立的，那么任何一个值的证明都是可以被包含在重复不断进行的过程中的.数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是已经规定的了.，然而它也可以用一些逻辑方法证明，在此就不予证明了。 用数学归纳法进行证明表达式通常分为三个步骤： （1）归纳基础 验证当取第一个值时命题成立，这时就获得了递推的基础，但是仅仅依靠这一步是不能说明结论的普遍性的。在验证时，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再多考虑几个正整数，即使命题对这几个正整数成立，也是不能保证命题对其他正整数也成立。 （2）归纳递推 假设当时命题成立，证明当时命题成立.这样便获得了递推的依据就能推得命题成立。 此必不可少的便是第一步的基础，只有二者结合，才能获得普遍性的结论. （3）下结论 最后得到普遍性的结论，即表达式成立。 然而需要注意的有：用数学归纳法进行证明时，“归纳基础”和“归纳递推”二者缺一不可；在归纳递推中，递推之前，时结论是不确定的，因此必须有假设二字.这一步的实质是证明命题时的正确性可以传递到时的情况，这样再加上递推基础就可以证明结论的正确性了。 2 数学归纳法的概念 2.1数学归纳法的定义：数学归纳法是一种先得出第一个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 常用来证明与自然数有关的相关命题。 2.2数学归纳法的步骤：数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作,那么数学归纳法的步骤为: （1） 证明当取适用的第一个自然数时,正确。 （2） 假设(且)时,命题成立,即正确，证明当时命题成立。 根据(1)、(2)当取任意自然数时，正确。 2.3关于数学归纳法的说明：运用数学归纳法证明时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1), 而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,最后是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此两个步骤缺一不可。 数学归纳法的若干形式 3.1第一数学归纳法： 第1步，验证是成立的（奠基步骤）； 第2步，假设成立导出也成立（归纳步骤）。 由1、2可得对于任意的自然数,命题都成立。 这是数学归纳法的最基本形式，通常称作第一数学归纳法。我们可以用最小二乘法来证明它