极限问题答疑.PDFVIP

极限问题答疑 1．数列极限 定义中的 是否为 的函数？为什么？ 答： 在数列极限定义中， 与 之间的关系是：对任给 ，总存在正整 数 ，当 时，有 成立。有时为表明 与 之间的关系，常将 写成 ，即 。但这里的 仅表示 与 有关，但这种关系 不是函数关系，因为对任给的 ，总存在正整数 ，这里的 不是唯一的， 存在一个满足要求的 ，就必然存在无穷多个满足要求的 ， 不是唯一 确定的。因此不满足函数定义，所以 不是 的函数 . 2．若 ，且 ，那么是否ab？ 1 1 答：不一定，例如 xn , y n 2 , xn  y n ， n 2 n lim xn 0 a, lim y n 0 b, 即有a b. n n 3．两个函数具备何种条件才能说是相同的？ 答：函数两个基本要素是定义域和对应法则，当两个函数的定义域相同，对应法 则相同，这两个函数相同 例如：函数 与函数 ，它们的定域都是区间 ，并且对应法则相同，当 时，对应的函数值都是 ，当 时 。因此是相同的函数。而函数 和 就不是相 同函数，因为它们的定义域就不相同，前者为 ，而后者则 是 4． 有人认为，函数记号 中的 表示某一个数学表达式，这种认 识是否正确？为什么？ 答：不正确，因为在函数记号 中， 是表示函数y 与自变量x 对 应法则的，而对应法则不是只数学式子能表示，一张表格，一个图像也可以表示， 因此， 有广泛的涵义，只要是对应法则，都可以用它表示。 5． 老师在课堂常讲函数在一点“有定义”，函数在某区间“有定义”，什么是 “有定义”？ 答：对函数来说；当自变量 取 时，相应函数有对应的函数值 ，则 称函数 在 有定义;当一个函数 在区间 的每一点都有定义，则称 函数 在区间 有定义。 显然，函数 定义域内的点都是函数 有定义的点，函数 定义域内 的区间都是函数 有定义的区间。 6．分段函数一定不是初等函数吗？ 答：有的同学学习了初等函数概念后，认为分段函数是由几个数学式子表示的函 数，一定不是初等函数。其实这种认识是不全面的，有些分段函数它可以用几个 数学式子表示，也可以用一个数学式子表示，例如函数 即可以写成 分段函数的形式 也可以用一个数学式子表示为 一般地，如果f (x) 在[a，c]上是初等函数，g (x) 在[c，b]上是初等函数，且 f (c) g (c) ，那么分段函数 必可用一个数学式表示为 因此， 是初等函数。 应当指出，尽管有些分段函数是初等函数，但把它写成一个表达式时，无助于我 们讨论它的性质，相反常会给我们带来麻烦，因此对于分段函数，除特殊需要外， 通常没有必要鉴别它是不是初等函数，而把它当作非初等函数对待。 7．函数极限与数列极限有什么关系？ 答： 提到函数极限和数列极限