人教a版数学必修二解析几何直线方程的一般形式教案【精品教案】.docVIP

安徽省池州一中新课标高中数学必修2解析几何教案：直线方程的一般形式　 一、教学目标 　 (一)知识教学点 掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比． (二)能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力． (三)学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点． 　 二、教材分析 　 1．重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系． 2．难点：与重点相同． 3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． 　 三、活动设计 　 分析、启发、讲练结合． 　 四、教学过程 　 (一)引入新课 点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线．与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程． 我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？ (二)直线方程的一般形式 我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90°时，直线有斜率，方程可写成下面的形式： y=kx+b 当α=90°时，它的方程可以写成x=x0的形式． 由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程． 反过来，对于x、y的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1) 其中A、B不同时为零． (1)当B≠0时，方程(1)可化为 这里，我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不知所云． (2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为 它表示一条与y轴平行的直线． 这样，我们又有：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？ 直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． (三)例题 解：直线的点斜式是 化成一般式得 4x+3y-12=0． 把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式 讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留． 例2　 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图． 解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式： x=-6 根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)． 本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线． 例3　 证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上． 证法一　 直线AB的方程是： 化简得　 y=x+2． 将点C的坐标代入上面的方程，等式成立． ∴A、B、C三点共线． ∴A、B、C三点共线． ∵|AB|+|BC|=|AC|， ∴A、C、C三点共线． 讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力． 例4　 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、　 B(5，2)的直线相交于C， 此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多． 代入x+2y-10=0有： 解之得　 λ=-3． (四)课后小结 (1)归纳直线方程的五种形式及其特点． (2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比