人教a版高中数学必修四《任意角和弧度制》教案4【精品教案】.docVIP

PAGE 弧度制学案 网络图 重点难点 重点：弧度的意义及正确地进行弧度与角度的换算。 难点：弧度的概念及其与角度的关系。 关键：弄懂1弧度的角的意义。 学习要求：理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集之间可建立一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。 本节须注意：1．掌握角度制与弧度制间换算的实质：180°＝π（弧度）。 2．熟练掌握一些特殊角的弧度数，如 等。 3．弧长公式化简为L＝｜α｜·R（α是圆心角的弧度数）。 4．同一个式子中，角度、弧度两种制度不能混用。 知识点讲解 一、角度制 初中学过角度制，它是一种重要的角度度量制度。规定周角的 为１度的角，记做1°这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。 二、弧度制 定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记做1rad。 定义的基础 根据圆心角定理，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数。因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准。 当角α的大小一定时，不论这个角所对的圆弧的半径是多少，弧长与半径的比值总是一个定值，它仅与圆心角的大小有关，所以我们可以用弧长与半径的比值来度量角的大小。 三、弧度数 如图（1）中， 的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即 。 在图（2）中，圆心角∠AOC所对的 的长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是 。 如果圆心角所对的弧长l＝2πr（即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是 。 如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l＝4πr，那么这个角的弧度数的绝对值是 ，即这个角的弧度数是－4π。 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。 角α的弧度数的绝对值（其中l是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r是圆的半径）。 四、角度与弧度之间的互化 把角度换成弧度： 把弧度换成角度： 五、须记住的特殊角的弧度数 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π 2π 六、角度制与弧度制的比较 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度 1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1°是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小。 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值。 用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数。如sin2是指sin（2弧度），π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去。 用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如 弧度，不必写成45°≈0.785弧度。 弧度制和角度制一样，只是一种度量角的方法。弧度制与角度制相比有一定的优点，其一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下公式简单，运用起来简单。 用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数相同，对于其它非零角度，由于单位不同，量数也就不同了。 七、角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系： 每一个角都有唯一的一个实数（例如这个角的弧度数或度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（例如弧度数或度数等于这个实数的角）与它对应。 八、弧度制下的弧长公式及扇形面积公式 弧长公式： 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积， 。 扇形面积公式： 扇形面积等于弧长与半径的积的一半， 。 在应用上述公式时，一定要注意α是圆心角的弧度数，若是度数一定先化成弧度数，才能代入公式。 九、须注意的一个问题 在今后表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，比如α＝2kπ＋30°（k∈Z）， 都是不正确的。 例题1：下列诸命题中，假命题是（　　） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的 C．根据弧度的定义，180°一定等于 弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 分析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角