[直击高考]江苏省高中数学教案 苏教版选修2-2 第一章《导数及其应用》1.3导数在研究函数中的应用[原创首发].doc

1．3 导数在研究函数中的应用 一、学习内容、要求及建议 知识、方法 要求 学习建议 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 掌握 借助于导数这个工具可以很好地判别函数单调性、求单调区间，极值，最值等，通过这些量我们可以从总体上把握函数的图象的变化规律．可以通过对一些具体的函数(如常见的三次多项式函数)的研究来加以体会． 二、预习指导 1．预习目标 (1)了解函数的单调性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值与导数的关系． (2)能利用导数的符号法则来解决函数的单调性问题，求函数的极值、最值等，通过这些量来研究函数的图象的变化规律． 2．预习提纲 (1)回顾必修1中有关函数单调性以及函数最值的相关内容(必修1第34页至37页)． (2)阅读课本第28页至33页，回答下面的问题 ① 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数的符合存在着怎样的关系呢? ②函数的极值与导数： 函数的极大值与极小值是怎样定义的? 注： 第一，极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．第二，函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．第三，极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值． ③函数的最值 最值的概念在必修1的教材中已经给出，请回忆，并指出最值与极值的区别与联系． (3)阅读课本例题，思考下面的问题． ①阅读课本第28页至29页上例1、例2和例3，总结求函数单调区间的步骤． ②阅读课本第31页上例1和例2，归纳求可导函数的极值的步骤． 思考：当时，能否函数在处取得极值? ③阅读课本第32页与第33页上例1和例2，归纳利用导数求函数的最值步骤． 3．典型例题 例1 求函数的单调区间． 解： ．令，解得． x (－∞，－3) －3 (－3，3) 3 (3，＋∞) ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可知，函数有两个单调增区间，分别是和；函数的单调减区间是． 点评： (1)不能说在内函数递增，应写为在和内分别递增． (2)因为函数为连续函数，所以说函数有两个单调增区间，分别是和，函数的单调减区间是这样的说法也是对的． 例2 已知函数，其中．若在上是增函数，求的取值范围． 分析： 因为在上是增函数，所以对上恒成立，再求出的取值范围． 解： 根据题意，． 由于在上是增函数，所以对上恒成立， 即即对上恒成立． 因为，所以，于是． 点评： ①解答过程中对恒成立，而不是恒成立，主要由于教材没有对闭区间的端点的导数下定义．由于函数在区间是连续的，所以在区间上是单调增函数，等价于在区间上是单调增函数． ②对已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则有可能漏解． 例3 求函数的值域． 分析： 求函数值域一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可利用函数的单调性求出值域，本题形式结构复杂，可采用求导方法求解． 解： 函数的定义域由，求得， 求导得． 由得， 即， 解得． 即函数在上是增函数，又此函数在x=－2处连续，所以在上是增函数．而f(－2)= －1， 所以函数的值域是． 点评： 函数y=f(x)在(a，b)上为单调函数，当在上连续时，y=f(x)在上也是单调函数． 例4 求函数的极大值和极小值． 分析： 利用求极值的一般方法． 解： ， 令，解得． 列表： x －2 0 2 － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y ↘ 极小值 －14 ↗ 极大值 2 ↘ 极小值 －14 ↗ 因此，当x=0时，f(x)有极大值f(0)=2；当x=±2时，f(x)有极小值f(±2)=－14． 例5 已知函数的极大值为13，求的值． 分析： 首先求，然后令求出方程根，判别f(x)在何处取得极大值，最后求． 解： 令，解得． 列表： x 0 4 － 0 ＋ 0 － y ↘ 极小值 ↗ 极大值 13 ↘ 所以在x=4处取得极大值，即，解得． 点评： 解答此题关键是判别f(x)在何处取得极大值． 例6 设函数在x=1和x=－1处有极值，且f(1)=－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值． 分析： 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值的步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为的根，利用这一关系借助于待定系数法求a，b，c的值． 解： ，是函数的极值点，则－1，1是方程的根，即有，解得b=0，c=－3a． 又f(1)=－1，则a＋b＋c=－1， 所以． 此时， 令，解得． 列表： x －1 1 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 1 ↘ 极小值 －1 ↗ 所以在x=－1处