2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案.doc

新东方在线考研 [ ]网络课堂电子教材系列 PAGE PAGE 1 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. 1、设，，当时，（ ） （A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小 （C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小 【答案】（C） 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】， ，即 当时，， ，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 2、已知由方程确定，则（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A） 【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】当时，. 方程两边同时对求导，得 将，代入计算，得 所以，，选（A）. 3、设，，则（ ） （A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点 （C）在处连续不可导 （D）在处可导 【答案】（C） 【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】，， ，在处连续. ，， ，故在处不可导.选（C）. 4、设函数，若反常积分收敛，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（D） 【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】 由收敛可知，与均收敛. ，是瑕点，因为收敛，所以 ，要使其收敛，则 所以，，选D. 5、设，其中函数可微，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（A） 【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★ 【详解】， ，故选（A）. 6、设是圆域位于第象限的部分，记 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】（B） 【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★ 【详解】根据对称性可知，. （），（） 因此，选B. 7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【考点】等价向量组 【难易度】★★ 【详解】将矩阵、按列分块，， 由于，故 即 即C的列向量组可由A的列向量组线性表示. 由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）. 8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ） （A） （B）为任意常数 （C） （D） 为任意常数 【答案】（B） 【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★ 【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. 由的特征值为2，，0可知，矩阵的特征值也是2，，0. 因此， 将代入可知，矩阵的特征值为2，，0. 此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）. 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. 9、 . 【答案】 【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】 其中， 故原式= 10、设函数，则的反函数在处的导数 . 【答案】 【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】由题意可知， . 11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积是 . 【答案】 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】面积 12、曲线上对应于点处的法线方程为 . 【答案】 【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★★ 【详解】由题意可知，，故 曲线对应于点处的法线斜率为. 当时，，. 法线方程为，即. 13、已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 . 【答案】 【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】，是对应齐次微分方程的解. 由分析知，是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为，为任意常数. 由，可得 ，. 通解为. 14、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若 ，则 . 【答案】-1 【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★ 【详解】 等式两边取行列式得或 当时，（与已知矛盾） 所以. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 当时，与为等价无穷小，求和的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】 故，即时，上式极限存在. 当时，由题意得 16、（本题满分10分） 设D是由曲线，直线及轴所围