如图,在边长2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为.docVIP

24. （2011江苏宿迁,27,12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB ∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90° ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN 又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM． （2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t ∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2 由勾股定理，得PQ＝＝ ∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝ 又∵PQ⊥MN ∴S＝＝＝t2－t＋ ∵0≤t≤2 ∴当t＝1时，S最小值＝2． 综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2． 25. （2011山东济宁，23，10分）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：． (1)设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式； （2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP，请你对于点P处于图中位置时的两个三角形相似给予证明； （3）是否存在使△AMN的面积等于的k倍？若存在，请求出符合条件的k值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线， ∴OA⊥AD，BD⊥AD，又OA⊥OB， ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB= 90°， ∴四边形OADB是矩形， ∵⊙C的半径为2，∴AD=OB， ∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p） 又∵点P也在直线AP上，∴p=4k＋3． 　　　(2)连接DN，∵AD是⊙C的直径，∴∠AND= 90°， ∵∠ADN= 90°—∠DAN，∠ABD= 90°—∠DAN， ∴∠ADN=∠ABD， ∵∠ADN=∠AMN，∴∠AMN=∠ABD， 又∵∠MAN=∠BAP， ∴△AMN∽△ABP． (3)存在． 理由：把x=0代入y=kx＋3得y=3，即OA=BD=3， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， ∵S△ABD=， ∴， ∴， ∵△AMN∽△ABP． ∴， 即， 当点P在B点上方时， ∵，或 ， ∴． 整理得，解得，， 当点P在B点下方时， ∵， ， ∴， 化简，得，解得， 综合以上所述得，当或时，△AMN的面积等于． 26. （2011广东汕头，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式； （2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由. 【解】，得 把x=3代入，得， ∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，） 设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得 ，解得 所以， （2）把x=t分别代入到和 分别得到点M、N的纵坐标为和 ∴MN=-（）= 即 ∵点P在线段OC上移动， ∴0≤t≤3. (3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN ∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形 由，得 即当时，四边形BCMN为平行四边形 当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=, 此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形； 当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=, 此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形； 所以，当时，平行四边形BCMN为菱形． 27. （2011四川成都，28,12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在轴上，顶点C在y轴的负半轴上．，，△ABC的面积，抛物线 A、B、C三点 (1)求此抛物线的函数表达式；