偏导数全微分q.ppt

一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 内容小结 作业 第三节 、全微分的定义 例3 设 练习题答案 不存在. 观察 播放 不存在. 观察 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 观察 不存在. 高等数学（下）主讲杨益民 第二节 偏导数 多元函数关于其中一个自变量的变化率，称为多元函数的偏导数。 定义 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度, 就是将振幅 求u(x0, t)关于 t 的一阶与二阶导数。 u(x, t)中的 x 固定于x0 处, 偏导数的几何意义 如图 x0 y0 (x0, y0, 0) 几何意义 f x(x0, y0)是曲线　 在点(x0, y0, z0)处的切线沿x轴的斜率。 f y(x0, y0)是曲线　 在点(x0, y0, z0)处的切线沿y轴的斜率。 偏导函数 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 例４设 求f (x, y)的偏导数。 解 偏导数存在、连续、极限存在的关系 f (x, y)在(x0, y0)偏导数存在 f (x, y)在(x0, y0)连续 f (x, y)在(x0, y0)极限存在 在(0,0)极限不存在， 例如 在(0,0) 不连续， 但　　　　　　　　　。 问题： 混合偏导数都相等吗？ 例７ 设 求二阶混合偏导数。 解 按定义可知： 例9 证明函数 满足拉普拉斯方程 例8 证明函数 满足拉普拉斯方程 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 思考与练习： 设z = f (u) ，方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解： P63 5（1）（3）（5）；6 （1）（3）（5）； 7,（1）； 8； P69 3；4；5； 6（2）（3）；7；8； 9（2） 一、全微分的概念 1. 回忆：一元函数的微分 2. 二元函数的偏增量与偏微分 应用 近似计算 估计误差 中值定理： 3.二元函数的全增量与全微分 全增量 例1 求 在(x,y)和(1,1)的全微分 其中 全微分定义（略） 则 称为二元函数在(x,y)的全微分。 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关。 若z=f(x,y)在区域D内处处可微分，则称z=f(x,y)在D内可微分。 注： 类似与一元函数的微分，二元函数的微分也有两个特点： （1）dz是△z的线性主部；（2）误差为o(?) 2. 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ? 函数在该点连续。 3. 几何意义：函数 z = f (x, y) 在 (x, y)点可微 ? 曲面z = f (x, y)在 (x, y)点切平面存在。 由微分定义 : 二、可微分的条件 证明： 定理1（必要条件）如果函数z=f (x, y)在点(x, y)可微，则该函数在点(x, y)的偏导数 存在，且z=f (x, y)在点(x, y)的全微分为: 。 注意：定理1的逆定理不成立，即: 偏导数存在不一定可微! 反例： 则 证明： 例2 计算函数 的全微分。 解: 利用轮换对称性 , 可得： 证明： （1） 令： 则 ???? （2） 不存在。 注: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件。 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 偏导存在 函数可微 偏导数连续 函数连续 课外作业： 全微分在近似计算中的应用 也可写成 解 由公式得 练 习 题 * * * *