直梁·弯曲变形.PDF

第 7 章 直梁·弯曲变形 第 7 章 直梁·弯曲变形 7.1.1 梁的挠曲线 在外力作用下，梁的轴线由直线变成曲线，弯曲变形后的梁轴线称为梁的挠曲轴，它是 一条连续、光滑的曲线，亦称挠曲线。对于平面弯曲，挠曲线是一条位于梁的同一纵向对称 平面内的平面曲线。本章只涉及平面弯曲。 7.1.2 横截面的位移 在外力作用下，梁变形后各横截面的位置将发生改变，梁的横截面将产生线位移和角位 移，故工程上常用这两个量来反映弯曲变形。 （1）挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向的线位移称为挠度，通常用 w （或y 、f ）表 示。不同横截面的挠度不同，因此挠度w 是截面位置x 的函数，即 w w x （7.1a ） ( ) 式（7.1a ）称为梁的挠曲线方程，简称挠曲线方程。挠度的常用单位为mm 。 工程中梁的变形一般都很小，梁弯曲后都比较平坦，因此沿轴线方向的线位移通常可以 略去不计。 （2 ）转角：横截面绕中性轴所转过的角位移称为转角，通常用θ表示。不同横截面的转 角不同，因此转角θ也是截面位置 x 的函数，即 θ θ x （7.1b ） ( ) 式（7.1b ）称为梁的转角方程。转角的单位是弧度rad 或度（°）。 7.1.3 挠度和转角的关系 挠度 w 和转角θ都是截面位置 x 的函数，由图 7.1 可知它们之间存在以下关系 dw tan θ dx 由于变形很小，梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线，转角θ极小，根据 taylor 级数展开可知tan θ≈θ ，从而得 dw θ≈tan θ （7.1c ） dx ·147 · 材 料 力 学 式（7.1c ）反映了挠度w 和转角θ之间的关系，它表明梁内任一横截面所转过的角度θ约等于 其挠曲线方程 w(x)对 x 一阶导数在该截面处的取值。根据一阶导数的几何意义可得，在数值 上转角的大小等于梁的挠曲线在该点变形前后的切线所转过的角度。 由此可见，计算梁的变形（w 和θ ），关键在于找到梁的挠曲线方程，将它对 x 求一次 导数，便可得到转角方程。若将某个横截面位置坐标 x 代入上面的两个方程，便可求得该截 面的挠度和转角。 7.1.4 挠度与转角的正负号规定 建立如图 7.1 所示的坐标系，其原点一般在梁的左 端。并规定以变形前的梁轴线为x 轴，向右为正；以梁 左端横截面的纵向对称轴为 w 轴，向上为正。 挠度 w 的正负号规定：向上为正，向下为负。 转角θ 的正负号规定：逆时针转向为正，顺时针 转向为负。 图7.1 挠度、转角的定义 [专业差别提示④] ：土建类：向下的挠度为正， 向上的挠度为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负；w 轴向下为正。