Chap4-3-样条函数插值.ppt

样条函数插值 SPLINE INTERPOLATION 安徽工程大学数理学院 周金明 内容提要 引言 样条函数的物理背景 一般 K 次样条 3次样条插值 高次自然样条与B- 样条基础 §4.7 样条函数插值 4.7.1 引言 样条函数的物理背景 回顾前面几节讲过的各种代数插值,它们有一个共同的弱点,那就是: 它们都是相当刚性(stiff)的.也就是说, 局部数据误差易向远处传播、放大. 以Lagrange插值为例,设数据真值 被代之以含有误差 的 , 令 是以 为插值条件的插值多项式,于是最终的插值误差是 由插值公式知,上式右端第二项为 这表明结点 处的数据误差 通过插值基函数 放大和扩散. 更何况,如果被插函数有奇点,甚至只要解析延拓到复平面有隐秘奇点出现, 则当 为高次多项式时,误差放大和扩散 还将助长很可怕 的强振荡! 展示Runge现 象的著名例子就 清楚地描述了这 种振荡(右图). 相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较 Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpolation 如果采用分段多项式插值, 则由于插值基函数只是局部活跃(它们的支集是局部紧致的), 结点上的误差可以被控制在小的范围内, 因而也带来了内在的高度稳定性. 这是分段插值的一大优势! 许多实际问题希望插值函数具有较高阶的整体光滑性. 此时, 高次Hermite插值或分段高次Hermite插值可以利用(注意:分段高次Lagrange插值和Newton插值等是做不到的,在插值结点上它们只能保证插值函数连续). 注:函数 的支集 Supp 定义为 Supp 但高次Hermite插值在许多场合中看不中用! 提高Hermite插值多项式的次数就要增加约束条件 ——给出插值结点处被插函数及其直到足够高阶 导数之值. 作为约束条件的所有数据都是通过观测得到的,而 观测总难免有误差. 于是 高次插值不仅增添了数据准备和计算的困 难,也将导致更大的误差. 还有许多应用不仅要求插值函数具有足够高阶的整体光滑性, 还要求在某些结点处转折灵活. 例如若干点处加载集中力的杆、梁或板弯曲. 这就导致本节要讨论的样条函数(Spline)插值. 数学里的样条( Spline )一词来源于它的直观几何 背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)来绘制或者放样成光顺曲线或者曲面.但它之所以成为数值分析的标志性成果之一并且在数学物理的广泛领域获得非常成功的应用,还在于它的明确的物理背景.请看下面的例子. 例1.如图4.7.1,一均匀 弹性弦两端固定于两 点 , 在区 间 内取点列 图4.7.1 并在内结点集上分别给集中载荷 则载荷分布 可表为 其中 是集中于结点 的点脉冲函数. 事实上, 在小变形和均匀分布外力假设下,上述弦的平衡问题的微分方程模型乃是两点边值问题 现在是作用离散的集中力,此时弦达到平衡状态时位移函数 应满足