1.3.1-相似三角形判定-讲义(人教A选修4-1)81278.ppt

* 返回 * 返回 1.相似三角形的判定 [读教材·填要点] 1．相似三角形知识的回顾 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形 叫做 ，相似三角形对应边的比值叫做 或( ）． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 ． 相似三角形 相似比 相似系数 相似 2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为： 对应相等，两三角形相似． (2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为： 对应成比例且 相等，两三角形相似． 两角 两边 夹角 引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 ． (3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为： 对应成比例，两三角形相似． 第三边 三边 3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果两个直角三角形有一个 对应相等，那么它们相似； ②如果两个直角三角形的两条直角边 那么它们相似． (2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边 ，那么这两个直角三角形 ． 锐角 对应成比例 对应成比例 相似 [小问题·大思维] 1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？ 提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等． 2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？ 提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似． [研一题] [例1]　如图，等腰梯形ABCD中，AD ∥BC，AD＝3 cm，BC＝7 cm，∠B＝60°， P为下底BC上一点(不与B、C重合)，连接 AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B. 求证：△ABP∽△PCE. 分析：本题考查相似三角形判定定理1的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．因为∠B＝∠C，所以只需在△ABP与△PCE中找到一组对应相等的角即可． 证明：∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠APB. ∵∠B＋∠BAD＝180°， ∴∠BAP＋∠PAD＝120°. 又∵∠APB＋∠CPE＝120°. ∴∠BAP＝∠CPE. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCE. [悟一法] 在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多． [通一类] 1.如图，已知：DE∥AB，EF∥BC. 求证：△DEF∽△ABC. [例2]　如图，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，顶点D、C分别在AM、BN上运 动(点D不与A重合、点C不与B重合)，E是 AB边上的动点(点E不与A、B重合)，在运 动过程中始终保持DE⊥EC. 求证：△ADE∽△BEC. 分析：本题考查直角三角形相似的判定方法．解答此题需要证明Rt△ADE和Rt△BEC中，除直角外有一组锐角对应相等． 证明：因为DE⊥EC，所以∠DEC＝90°. 所以∠AED＋∠BEC＝90°. 又因为∠A＝∠B＝90°， 所以∠AED＋∠ADE＝90°. 所以∠BEC＝∠ADE.所以△ADE∽△BEC. [悟一法] (1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． [通一类] 2．如图，BD、CE是△ABC的高． 求