关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题（可编辑）.doc

山东大学 博士学位论文 关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题 姓名:杨连中 申请学位级别:博士 专业:基础数学 指导教师:仪洪勋 2001.3.28关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题 关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题 要 摘 引进了亚纯函数的特征函数, 二十世纪二十年代,芬兰数学家 并建立了两个基本定理,被称为理论值分布论;他所创建的这一理 理论研 论也是二十世纪最重大的数学成就之一。半个多世纪以来, 究在不断发展,而且在复微分方程振荡理论、亚纯函数的唯一性理论研究等方面有 着广泛的应用。亚纯函数的唯一性理论,是近几十年国际上较为活跃的研究课题, 有着极为丰富的研究内容。涉及公共值的亚纯函数唯一性问题理论研究起源于. ,,的一些研究工作,他不仅为唯一性问题研究奠定了理论基础,并 为亚纯函数唯一性理论方面的研究与发展注入了新的活力。他所建立的公共 值定理、公共值定理等都是这一研究领域的经典结果。后来我国著名数学家 熊庆来?、杨乐【等都得到了内容深刻的结果。随着亚纯函数唯一性理论的不断 发展与完善,一些问题得到了解决,新的研究问题又不断出现,如本文提到的 问题,都是许多数学 问题, 猜想,一问题及 家所关注的研究对象。 ,... ..等数学家都 获得不少研究成果。近二十年来,仪洪勋教授在亚纯函数唯一生理论方面作出了重 要贡献.取得了一系列令人注目的结果。本文主要介绍了作者在仪洪勋教授的精心 指导下所完成的一些研究工作见文献】¨¨】】】【【】【 , 全文共分五章。 第一章主要介绍了基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数唯一 性理论中的一些基本概念、结果及与本文研究相关的几个问题。 第二章,我们研究了整函数与其导函数仅有一个有穷公共值时的唯一性问 题。年,.提出了如下猜想。 猜想: 设,是非常数整函数,其超级 旷?盟寄幽为有穷且不为正整数。如果与’以有穷复数。为公共值,则 ’一 。‘ 二。?一 其中为非零常数。 设,是非常数整函数,%是正整数,为非零常数如果与,‘以为 公共值,则由园子分解定理可知 卫竺:。∞,, ? 其中是整函数记/一,则满足下列线性微分方程: ≈一::. 上述论证说明,函数与其导函数,‘’≈芝具有一个有穷非零公共值与一 类线性微分方程的解有着密切关系。我们通过研究一类复微分方程解的增长性质, 对有穷级整函数证明了 猜想成立。主要定理有 定理设是非常数多项武为正整数则微分方程 一毋: 的任何解。必为无穷级整函数。 定理设,是非常数整函数,其级为有穷。如果与,‘’≈≥以有穷复 数≠为公共值,则 ,女一 丁副, 其中为非零常数,是正整数。 在第三章中,我们进一步研究了函数与其导数具有一个公共值时的唯一性问 题,回答了?问题及钟华梁提出的一个问题,并推广了.,.. 和 的结果。主要定理有 定理设,是非常数整函数,是有穷非零复数,为正整数。如果,,,∞ 以及,以为公共值,则,三’关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题 定理设,是非常数整函数,是有穷非零复数,礼为正整数。如果和,“ 以为公共值,并且当时,,’,““,则三矿, 其中是非零常数。 第四章我们考虑两个非常数亚纯函数与,研究了当,和’ ,,,?一,具有公共值时的唯一性问题。对超级小于的亚纯函数解决了 的一个问题,例子表明其结果是精确的。具体结果有 定理 设与是超级小于 的非常数亚纯函数.如果,与 口,,以和∞为公共值 则和下列情况之一: ,≠为常数 酽”,。,,,,≠为常数 一“,一一,,,,为常数 /一。,/?一..为常数,是非常数整函数。 第五章主要研究了具有公共值集的亚纯函数唯一性问题。函数的公共值集概 念首先是有 首先给出的,并在年提出了一个关于亚纯函数唯一性 的问题:能否找到两个甚至一个有限集合和.使得对任何两个亚纯函数 此问题引起了许 ,和,当,为和的公共值集时,必有三 多数学家研究兴趣,这方面的研究也越来越多。下面的几个结果是我们关于 问题研究的有关工作,其中定理回答了问题。 定理设与是非常数亚纯函数,≠是有穷复数,是正整 数。如果,凡与“Ⅱ以,。。为公共值,则,“兰或者三, 从而存在常数和满足“,。使得,三或者,三 定理设,与是非常数整函数,,≠,”≠“是有穷 复数,是正整数。记 “, 岛 “ 如果,,则兰 ?壁垦垒旦旦星垦堕旦墨旦堕旦堡型堡望望鲨 设,,,?一,。”,曼。。,及,其中∞/, /,则我们有下面的定理成立。 定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以,为 公共值集,并且≥,则,兰,“;或者,?兰,“ 定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以为公共 值集,以为公共值集,并且礼≥,则,三,护;或者,三, “. 定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以为公共 值集,以岛为公共值集,并且≥,则,三,”;或者,.三,