反比例函数知识点归纳.docVIP

九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识（一）反比例函数的概念　　1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；　　2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；　　3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质　　1．函数解析式：（）　　2．自变量的取值范围：　　3．图象：　　（1）图象的形状：双曲线．　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　越小，图象的弯曲度越大．　　（2）图象的位置和性质：　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．　　（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．　　4．k的几何意义　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　5．说明：　　（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．　　（2）直线与双曲线的关系：　　 　当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．　　（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数　　1．求函数解析式的方法：　　（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析　　1．反比例函数的概念　　（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．　　A．y=3x 　　　B．　　　　 C．3xy=1 　　　　D．　　（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．　　答案：（1）C；（2）A．　　2．图象和性质　　（1）已知函数是反比例函数，　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．　　（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．　　（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．　　（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，　　　　 则直线不经过的象限是（ ）．　　A．第一象限 　　　　 B．第二象限　　　 C．第三象限　　　　　 D．第四象限　　（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，　　　　 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．　　A．第一、二、三象限 　　　　　　B．第一、二、四象限　　C．第一、三、四象限 　　　　　　D．第二、三、四象限　　（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．　　 　　 　　 A． 　　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　　D．　　 答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．　　 3．函数的增减性　　（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．　　A．正数 　　　　B．负数　　　　　 C．非正数　　　　　 D．非负数　　（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．　　A．＜＜　　　B．＜＜　　　　　C．＜＜　　　D．＜＜　　（3）下列四个函数中：①；②；③；④．　　　　 y随x的增大而减小的函数有（ ）．　　A．0个　　　　 B．1个 　　　　　C．2个 　　　　　D．3个　　（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．　　答案：（1）A；（2）D；（3）