关于一道数学竞赛题的推广与方法.doc

关于一道数学竞赛题的推广与方法 2005年第3期数学教育研究?63? 关于一道数学竞赛题的推广与方法 王先进(江苏省丹阳市教育局教研室212300) 2004年全国高中数学联赛第一大题第四 小题是:设0点在△ABC的内部,且有0A+2 碡+3一.则△ABc的面积与△Aoc的面 积的比为() 2 A.2B.昔C.3D.÷厶0 (2004年全国高中数学联赛第4题) 解:分别取BC,AC的中点E,F,连 OE.0F. ? .+2碡+3一O, . ? .+:一2(+碡) 故E,0,F,三点共线且IOFI一2IOEI,记 S△髓=S△BOE:S, 则S△0Fc—S△0FA一2s,..S△AOc一4s 而S△ABc一4S△EFc一4(S+2s)一12s,所以 选C. 由上述方法可知:S△一2s,S△舰一4s, S△A0B一6s 所以s△BD【1:s△艘:s△AoB一1:2:3,将 其推广到一般形式,便有下面的 推广1:设O点在AABC的内部,且有 ++一O 贝U5△髓:S△脚:S△AOB一1::n 证明:反向延长0lA至G点,使得OA = OG 则:一=m商+竹, 由平面向量基本定理可知,ITI,n唯一确定 且mgt;0,,2gt;0. 过G点分别引GE平行OC,GF平行OB 分别交OB,OC的延长线于E,F两点,连 BG.CG. : 碡+:商+,...一 .一 记平行四边形OEGF的面积为S,则可以 知道: S△0Bc 1o-~1?lABOC SaOEF1』『.Io-Pl?sinE0F 1 , 即s△∞一,又5△∞一s△一? SAO~F一S 同理,S△B= 所以S△∞c:S△A0c:S△A0B一1:: 显然,点.不能分布在三角形的边界(含 顶点和它们的延长线上). 推广2:设.点是AABC的外部不在各边 延长线上的任一点,且有++一0 贝0S△BDc:S△:S△A.B一1:IITIl.{『 证明: 一一m一. 过A引AE,AF分别平行与0B,0C,交 0C,0B的延长线于E,F,显然,,z唯一 确定且lt;0,mlt;0 则一+一～商一 . ? . 一一m,===一商记平行四 边形OEAF的面积为2s,则 S 一 AOEF 一, S△BS△OAB1S△OAc1 —了一一一—--—n—了一一—--—ITl 所以,S△肼:S△似:S△枷一1:(一m) :(一)一1:Im1:lnl 由推广1和推广2可得下面的定理: 设O是平面上除amp;ABC的边界(含顶点和 延长线上的点)外的任一点,若+. +30C一0,则S△肼:S△删;s△A0B—l1f: I.』:』(其中,.,.都是非零常数) 事实上,只要在条件等式的两端和结论比 例式的各端同时除以,便可以得到与推广1 及推广2的等价形式,这里用解析几何的方法 给出一种两个推广的统一证明. 证明:不论0点在三角形的内部还是外 部,以O为坐标原点建立直角坐标系 设A(x1,Y1),B(x2,2),C(x3,3) ? 64?数学教育研究2005年第3期 ? .+m+一0 . . . Izl+2+,z3—0,.),l+my2+ny3—0 ? . s△∞c:号}兰虽}一号ll ? . .s△c一专{曼耋{一专}三}一 号如弘I 一I—z.一I 2Iz.sl 一丁m[ 12z c2 . 2 . 2s一21z33lu出 ? ? ? 一 lm1,同理可得???Sz2xAOB BOCBOC — In1, LJ△△ 所以S△:S△A0c:S△^oB一1:lml:lnl 推论:若△ABC内一点0将三角形分为 面积相等的三个小三角形,则0为△ABC的 证明:由平面向量基本定理,存在唯一的 实数对(m,)使得 ++一0, (上接第57页)的最小值我不会求! 丁:s的方法尽管未求出结果且运算较 繁,但利用函数求最值是常用的基本方法,请同 学们思考一下,如何求上式的最小值? S6:我想到换元法:设4—6一z,则Olt;zlt;4, .一二一￡+导一4≥2,/g一4一口:————一=十—■一4,一4— 4～4. 当且仅当一÷,f一2√,b=4--2时,等 号成立! 丁:很好!用不等式求函数的最小值可以 简化运算. S:上述同学用代数方法求解问题,我还 想到解析法,请看: 由已知条件{b,z+~c+z=一az0Ca4—0可看作点(6,I十十一4一U c)在圆+Y一a上,又在直线z+Y+a一4 —0上...直线与圆有公共点,则圆心到直线 :l:1I]m一一1 . . . o-2;++一0设A(,),B (2,2),C(x3,3),0(z,), 则1一z+322一+3一=0,1一Y+ 一 +Y3一Y===0 即z一兰塑,一兰所以 00 0为△ABC的重心. 两点注记: 1.回头看看题设的条件与题断的结构,1, m,分别是,,前面的系数