1.4 行列式习题.ppt

一、计算排列的逆序数 二、计算（证明）行列式 三、克拉默法则 典　型　例　题 １　用定义计算（证明） 例 用行列式定义计算 二、计算（证明）行列式 一、计算排列的逆序数 习题一 2（4） 解 （略） ２　利用范德蒙行列式计算 例　计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 解 右端行列式为n阶范德蒙行列式， 　由范德蒙行列式知 　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式． 习题一 7（5） 7 (5) 解 ３　利用性质化为三角行列式计算 例　计算 解 提取第一列的公因子，得 ４　利用按一行（列）展开行列式降阶计算 例　计算 解 5　用加边法（升阶）计算 例 习题7（4）解法一 （1）若 中为0的个数大于等于2 则 则 （2）若 中仅有一个为0，不妨设 （3）若 都不为0， 则 6　用递推法计算 例　习题7（4）解法二 从而得递推公式 由此递推，得 于是 ７　用数学归纳法 例　证明 证 对阶数n用数学归纳法 的行列式也成立 于阶数等于 下证对 的行列式结论成立 假设对阶数小于 . , n n 得 展开 按最后一行 现将 , D n 由归纳假设 　　 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法． 小结 　　当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解． 三、克拉默法则 解 设所求的二次多项式为 由题意得 由克莱姆法则，得 于是，所求的多项式为 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 第一章 第四讲 习 题 课 一 阶行列式定义 ： ( ) ( ) n n n np p p p p p p p p t nn n n n n a a a a a a a a a a a a D L L L L L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 1 ? - = = 或： 主要内容 二　n 阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5　 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． １ 余子式与代数余子式 三　行列式按行（列）展开 3 关于代数余子式的重要性质 2 行列式按一行（列）展开 四 克拉默法则 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式 定理 由Cramer法则可得齐次线性方程组的相关定理 定理　 如果齐次线性方程组 有非零解,则它 的系数行列式必为零. 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 ，则齐次线性方程组 没有非零解. 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS