2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练.docVIP

第 第 PAGE \* MERGEFORMAT 1 页 共 NUMPAGES \* MERGEFORMAT 10 页 极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线： 　　（t为参数） 其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． eq \o\ac(○,1)．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝． eq \o\ac(○,2)．线段AB的中点所对应的参数值等于． 2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆： 　　（为参数） 3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： 　　　　（为参数）　　（或　） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线： 　　　　（为参数）　　（或　） 5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线： 　　（t为参数，p＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）． （三）极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜或0，＜≤等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标互化公式： 典型例题讲解 极坐标 考点一 极坐标与直角坐标的互化 1.点P的直角坐标为(－eq \r(2)，eq \r(2))，那么它的极坐标可表示为________． 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4))) 2.已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______ 答案：（ ） 3.把点的极坐标化为直角坐标。 4.曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4. ∴应选B. 5.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 6化极坐标方程为直角坐标方程为（ ） A． B． C． D． 7.极坐标ρ=cos()表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ， ∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D. 考点二 直线的极坐标方程的应用 1.过点且与极轴垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2.在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为 ． 答案：（或、） 3.设点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，直线l过点A且与极轴所成的角为eq \f(π,3)，则直线l的极坐标方程为______________