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“赵爽弦图”考题聚焦.doc
“赵爽弦图”考题聚焦
王云峰
我国古代数学家赵爽利用弦图(图1),巧妙地证明了勾股定理.
第24届国际数学家大会为了纪念他,特意将弦图作为会标,现举
例介绍以弦图为背景的试题,供参考.
例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由
四个全等的直角三角形围成的,在Rt△ABC中,若直角边AC=6,
BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图3中的实线)是_______.
解析 如图3,标注出点D、E、F、G.
∵AC=6,BC=5.
∴GD=6.DE=5.
∵FG=DC,
=13.
∴这个风车的外围周长为4(EF+FG)=4×(13+6)=76.
xy+4=49,即2xy+4=49,③正确.
由①、③,得x2+y2+2xy+4=49 ×2,即(x+y)2=94,所以x+y=,④不正确.
综合知,选B.
例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图5).图6由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2,若S1+S2+S3=10,则S2的值是___________.
例4 如图7,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边
延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D.边长接原
法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图8);以此下去……正方
形AnBnCnDn的面积为______.
解析 由小正方形ABCD的面积为1,知
它的边长为1,则DD1=1,DA1=2.
如图7,在Rt△D1DA1中,由勾股定理,得
D1A2=D1D2+DA2=12+22=5,
,D1A2
=2D1A1=2.
在Rt△D1D2A2中,由勾股定理,得
所以正方形A2B2C2D2的面积为25=52.
同理,正方形A3B3C3D3的面积为125=53;正方形A4B4C4D4的面积为625=54;……
于是,可猜想正方形AnBnCnDn的面积为5n.
例5 2002年在北京召开的世界数学大会会
标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大
正方形,中间的阴影部分是一个小正方形的“赵
爽弦图”,如图9.若这四个全等的直角三角形有
一个角为30°,顶点B1、B2、B3、…、Bn和C1、
C2、C3、…、Cn分别在直线y=-x++1
和x轴上,则第n个阴影正方形的面积为______.
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