20-同底指对数函数图像的交点个数再研究 中学数学研究(江西)2012年第6期.docVIP

第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 函数与（）的图像交点个数再研究 顾朝阳 安徽省六安第一中学 237009 陆学政 安徽省六安第一中学 237009 关于同底的指数函数与对数函数（为常数，且）图像交点个数问题，很多文章从不同的角度作了研究．对于的情况，无论是得出的结论还是结论的证明过程，均是正确的，并无争议之处．但是对于的情况，笔者查阅了手头的资料，发现不少文章的研究有值得商榷之处，现阐述如下． 1 对两则典型案例的质疑 典型案例1：利用研究临界状态得出结论 文【1】首先求出函数与（）的图像仅有一个交点的“临界状态“时 的值：设函数与（）的图像与交于点，此时，函数与（）的图像在点处有相同的切线．∵， ，∴，又，故，得（舍去），又由，得，∴，∴，从而，得．在此基础上，作者紧接着得出结论：当时，函数与的图像有个交点；当时，函数与的图像有个交点． 质疑1：当两个函数的图像有唯一公共点，为何函数与（）的图像在点处有相同的切线？依据似乎只能是直观感觉．更重要的是，在得出这个“临界值”后，为何“时图像有个交点”，而不是“时图像有个交点？ 为何时交点为个，而不是个，个，┅？ 典型案例2：利用等价转化得出结论 文【2】的证明过程如下（限于篇幅，作了简化）：易知时，函数与在上有且只有一个交点．考虑与在外的交点，若有则成对出现，不妨设交点为，，则，故， 设函数，利用导数得在单调递减，在单调递增，为，的最小值，且，故，从而 推出，即当且仅当时，方程有三个解，而当时，方程恰有一个解且在上． 质疑2：由，依据是什么呢？显然，得出是利用了幂函数在区间上的单调递增特征，是正确的；而得出则是利用了指数函数的单调递减特征，但是，由于，因此应该是，从而 与的大小关系无法利用不等式的传递性得到，此处明显犯了错误．另外，作者的推理思路是由“已知三个交点”得到， 只是“三个交点”的必要条件，能保证二者的“等价性”吗？显然不能令人信服．文【3】、【4】、【5】在借鉴文【2】的方法时，出现了同样的错误． 还有一些文章，作者仅仅是通过数学实验的方式，利用几何画板，直观地观察得出结论，虽然有其独特的优势，但的范围只是近似的，且作者并没有辅以严格的代数推理过程，其欠缺之处比较明显，此处不再赘述． 2 问题的求解 上述两则案例的最终结论均是正确的，只是推理过程出现了问题．笔者起初试图在遵循原作者思路和处理方法的前提下，能妥善解决其中的含糊不清或错误之处，得出严格的、无任何漏洞的证明过程．遗憾的是，目前尚未实现这个目标，只能留待进一步研究，也期待能得到各位同仁的不吝赐教．下面给出笔者探究得出的另一种证明思路，供参考： 由于，因此当时，，而，因此仅当时，函数与的图像才可能产生交点，即只需考虑的情形． 由于（）为减函数，而为增函数，结合图像易知与有且只有一个交点，利用原函数与反函数关于的对称特征，可知当时，与的图像必有一个交点在直线上，且若有别的交点，则一定成对出现，因此只需考虑在直线下方的情形． 　若点是与图像的一个交点，其中，则点也应该是、图像与某条直线（）的唯一交点．故有 ，． 由得，即，解得，从而，所以 ，． 将该式看作关于的函数，问题转化为：的取值与的取值个数之间有何关系？ 对求导并化简整理得， 注意到，，因此只需研究的符号． 求导得，，令，有，故在单调递减，∴，从而在恒成立，故在单调递增，∴，即在单调递减，∴． 至此，有，而，故有，从而为上的增函数． 另一方面，根据求函数极限的洛必塔法则，有 ， 同理有． 故当时，函数的值域是． 综上可得，函数为上的连续单增函数，上确界为，下确界为，从而与建立了一一对应关系．因此，任取时，存在唯一对应的，从而与（）的图像在直线的下方有唯一公共点（例如，与的图像在直线的下方有唯一公共点），相应地，与（）的图像有三个公共点；当，不存在对应的， 从而与（）的图像在直线的下方无公共点，相应地，与（）的图像只有一个公共点．于是有： （１）与（）的图像在直线的下方有一个公共点的充要条件是 ； （２）与（）的图像有三个公共点的充要条件是； （３）与（）的图像有唯一公共点的充要条件是． 　 参考文献 1 宗敏，对数函数与指数函数的图像的交点个数的再探讨，数学教学与研究，2010,3 2 李巧文，“方程解的个数问题”的问题（续），中学数学教学参考（上半月），2006,5 3 江战明，为何学生对此问题毫无“防御力”，中学数学教学参考（上旬），2010,9 4 李永胜，一次作业“勘误”后的有效探究，中学数学教学参考（上旬），2011,5 5 王克亮，从一道错题再谈函数图像的交点问题，中学数学，2008,4