2008上海交通大学数分分析测试题.docVIP

数学分析测验解答 2008.12 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ . 2. 设在上二阶可导，且有，则 . 3. 曲线的渐近线是 . 4. 设有原函数，则 . 二、单项选择题（3×5＝15分） 1.设在上是凸函数，则下列命题正确的是 (A) 在上连续； (B) 在上连续； (C) 在内可导； (D) 以上结论均不正确. 【 A 】 2.下列命题 设在上可导，且有界，则在上也有界； 设在上可导，且无界，则在上也无界； 设在可导，，则必有； 设在可导，，则必有. 中正确的有几个 (A) 0个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 3个 【 B 】 3.设在点的某邻域内连续，且，则在处 (A)不可导； (B) 可导且； (C)有极大值； (D) 有极小值. 【 D 】 三、（12分）设在原点的邻域二阶可导，且有 （1）求； （2）求. 解 （1）由知， -------------------2分 于是有 从而 ， 就有 由此得出 . 即有 . 又在原点的邻域二阶可导，有 -------------------4分 得： ------------------8分 （2） ------------------12分 四、计算题（10+8＋7＋8=33分） 1. 将函数展开成带Peano余项的阶Maclaurin公式. 解 -------------------4分 -------------------10分 2. 求方程有两个正实根的充要条件. 解 令 --------------------------2分 易见，且. 又 ------------------------4分 1）当且时，，表明严格单调减少，结合前面的分析知，有唯一正实根； 2）当时，令，得驻点，当时，，严格减少，当时，，严格增加，故为最小值.又，因此当且仅当时，有两个正实根。从而原方程两个正实根的充要条件是： -----------------8分 3. 求积分. 解 --------------------------3分 --------------------------7分 4. 求积分. 解 令，则 --------------------------2分 ----------4分 （其中） ---------8分 五、（12分）设，试证明： (1) ； (2) 并由此求出. 解 (1) 将代人即可. ----------4分 (2) 在式(1)两端对求次导数，并应用Leibniz公式，得 ----------8分 整理后即得要证的等式. 在式(2)中，令，得 . 注意到 ，可知 ， ----------12分 六、（8分）设函数在上二阶可导，且，.证明：存在使得. 证明：由知，与同号，不妨设，再结合，根据极限的保号性知，，且，注意到在上 二阶可导，知存在. ----------2分 作辅助函数 ， ----------4分 易见且，由Rolle定理知，存在 ， (*) 再令， ----------6分 由(*)式知，，由Rolle定理知，，整理后即得要证的结论. ---