2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学.docVIP

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理科数学 本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 已知（为虚数单位），则复数=（ ） A. B. C. D. 2. 设A,B是两个集合，则””是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的( ) A. B. C. D. 4. 若变量满足约束条件则的最小值为（ ） A.-7 B.-1 C.1 D.2 5. 设函数，则是（ ） A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 6. 已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ） A． B. C.6 D.-6 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 8. 已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 9. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ） A. B. C. D. 10. 某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. . 12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 13. 设F是双曲线的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_________________。 14．设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 . 15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围 是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分） 本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。 （Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲 如图5，在中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： （ⅰ）； （ⅱ） （Ⅱ）（本题满分6分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （ⅱ）设点M的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值。 （Ⅲ）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲 设，且，证明： （ⅰ）； （ⅱ）与不可能同时成立。 17.（本小题满分12分） 设的内角的对边分别为，且为钝角。 （Ⅰ）证明：; （Ⅱ）求的取值范围。 18.（本小题满分12分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。 （Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望。 19.（本小题满分13分） 如图6，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上。 （Ⅰ）若是的中点，证明：； （Ⅱ）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。 20.（本小题满分13分） 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为。 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）过点的直线与相交于两