导数压轴题1b模块.docVIP

1.设，函数． （Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值； （Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）． 因为是 HYPERLINK 函数的极值点，所以，即， 所以．经检验，当时，是函数的极值点． 即． …………………6分 （Ⅱ）由题设，，又， 所以，，， 这等价于，不等式对恒成立． 令（）， 则， 所以在区间上是减函数， 所以的最小值为． 所以．即实数的取值范围为． …………………13分 3.已知函数. （Ⅰ）若函数有三个零点，且，， 求函数 的单调区间； （Ⅱ）若，，试问：导函数在区间(0，2)内是否有零点， 并说明理由. （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围. 【解】（I）因为，又，则 （1分） 因为x1，x3是方程的两根，则 ，，.即 （3分） 从而：， 所以. 令 解得： （4分） 故的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是 。 （6分） （Ⅱ）因为，，所以，即. 因为，所以，即. （7分） 于是，，. （8分） （1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点. （9分） （2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点. 故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点. （10分） （Ⅲ）设m，n是导函数的两个零点，则，. 所以. 由已知，，则，即. 所以，即或. （12分） 又，，所以，即. 因为，所以. 综上分析，的取值范围是. （14分） 4. 已知函数,且. （ = 1 \* ROMAN I）讨论的单调性,并求出极值点. （ = 2 \* ROMAN II）若（ = 1 \* ROMAN I）中的.求在上的最小值. 解：（ = 1 \* ROMAN I）当时, 在上单调递减,在上单调递增, ――――――――――――――――――――――――――――――――(3分) 当时, 在上单调递减,在上单调递增. ――(5分) 极值点―――――――――――――――――――――――――――(6分) （ = 2 \* ROMAN II）――――――――――――――――――――――――――(12分) 7.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调减区间和极值; （Ⅱ）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）函数的定义域为， 2分 ，令，解得，列表 － － 0 + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 由表得函数的单调减区间为，;极小值为＝，无极大值. 6分 （Ⅱ）因为，所以 在两边取自然对数，，即， 12分 由（1）知的最小值为，所以只需，即. 14分 11.已知，函数. （1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切， 求的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在[0，1]上的最小值。 解：（1）依题意有，（1分） 过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为（2分） 又已知圆的圆心为，半径为1 ∴ ，解得（3分） （2） 当时，（5分） 令，解得，令，解得 所以的增区间为，减区间是（7分） （3）当，即时，在[0，1]上是减函数 所以的最小值为（9分） 当即时 在上是增函数，在是减函数 所以需要比较和两个值的大小（11分） 因为，所以 ∴ 当时最小值为，当时，最小值为（12分） 当，即时，在[0，1]上是增函数 所以最小值为. 综上，当时，为最小值为 当时，的最小值为（14分） 2.1.已知在区间上是增函数 （ = 1 \* ROMAN I）求实数的取值范围； （ = 2 \* ROMAN II）记实数的取值范围为集合A，且设关于的方程的两个非零实根为。 = 1 \* GB3 ①求的最大值； = 2 \* GB3 ②试问：是否存在实数m，使得不等式对及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 1.解：（1） ……………………………………………1分 在上是增函数 即，在恒成立 …………① …………3分 设 ，则由①得 解得 所以，的取值范围为………………………………………………………