定积分的例题.docVIP

定积分例题 一、定积分的概念及性质 例1.?用定积分的几何意义求. 解: 函数在区间[0, 1]上的定积分是以为曲边,?以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以为曲边,?以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 . 例2.?用定积分的几何意义求. 解:因为在区间上有正有负,所以 等于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积, 所以 . 例3. 比较下列各对积分的大小： （1）与 解：当时，， 从而 （2）与 解：当时，，所以， 从而 解：当时，，所以， 从而 （2）与 解：当时，，所以， 从而 二、微积分基本定理 例1. 求下列函数的导数： （1）； （2） 解: （1） . （2） 例2. 计算. 解: 由于是的一个原函数, 所以 . 例3. 计算. 解 由于是的一个原函数, 所以 . 例4. 计算. 解 ?ln 1?ln 2??ln 2. 例5. 计算 解：原式= 例6. 计算正弦曲???在[0,π]上与轴所围成的平面图形的面积. 解：这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积 ??(?1)?(?1)?2. 三、换元积分法 例1. 计算. 解 设，则 当时，；当时， 例2. 计算 解：设，则 当时，；当时， 例3. 计算 解：设，则 当时，，时，. = 例4. 计算. 解 . 例5. 解：令，则 原式= 例6. 计算 解： 解法一 设，则 当时，；当时， 解法二 注：如并不明显写出新变量，则定积分的上下限就不用变。 例7. 计算 解：原式= 四、分部积分 例1. 计算 解 设， = 例2. 计算 解 例3.计算 解 例4.计算. 解 令, 则 . 五、定积分的应用 例1 计算抛物线与直线所围成的图形面积. 解：1、先画所围的图形简图 解方程 ,得交点： 和 。 2、选择积分变量并定区间 选取为积分变量，则 3、给出面积元素 在上， 在上， 4、列定积分表达式 =18 另解：若选取为积分变量，则 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 例2求，所围成的图形的面积. 解 ，，， 当时，于是