2018年全国2卷数学试卷及参考 答案.docVIP

2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。 1．（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则中元素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数的图象大致是（ ） 4．已知向量满足，，，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线的离心力为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则=（ ） A． B． C． D． 7．为计算，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入（ ） A． B． C． D． 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A． B． C． D． 9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 10．若在是减函数，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A． B． C． D． 12．已知，是椭圆的左、右焦点交点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满足约束条件，则的最大值为_________． 15．已知，，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为．若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量的值依次为）建立模型①：：根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点。． （1）求的方程； （2）求过点且与的准线相切的圆的方程． 20．（12分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求．  （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围．  2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B B A A B C C A C D 12.解： 填空题 14. 9 15. 16. 16.设母线长为a, 填空题 17.解：（1）由可得：，所以，所以 （2） 18.解：（1）①， （2）对于模型①，当年份为2016年时， 对于模型②，当年份为2016年时， 比较而言，②的准确度高，误差较小，所以选择② 19.解：(1)∵F（1,0），设直线，联立 ，∵，∴k=1,所以直线方程 设AB的中点为N（），设圆心为M（a,b），所以圆的半径r=a+1 因为，所以MN的方程为，即 所以，由垂径定理： 即：解得： 所以圆的方程为：和 20.证明：连接BO，因为AB=BC，则BO⊥AC，所以BO=2 又因为在△PAC 中，PA=PC=4，所以PO⊥AC，且，因为， 所以PO⊥BO，从而平面； （2）以为x轴，以为y轴，以