数学分析 第二型曲线积分 课件.doc

§2 第二型曲线积分 教学目的与要求： 掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别． 教学重点，难点： 重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容： 第二型曲线积分 一 第二型曲线积分的意义 在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。例如一质点受力的作用沿平面曲线从点移动到点，求力所作的功(图)。 为此在曲线内插入个分点，与一起把有向曲线分成个有向小曲线段，若记小曲线段的弧长为，则分割的细度为 。 设力在轴和轴方向的投影分别为与，那么 。 又设小曲线段在轴与轴上的投影分别为与，其中与分别为分点与的坐标，记 ， 于是力在小曲线段上所作的功 , 其中为小曲线段上任一点。因而力沿曲线所作的功近似的等于 当细度时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。这种类型的和式的极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分。 定义1 设函数与定义在平面有向可求长度曲线上。对的任一分割，它把分成个小曲线段 其中。记各小曲线段的弧长为，分割的细度。又设的分点的坐标为，并记。在每个小曲线段上任取一点，若极限 存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为 或 上述积分也可写作 或 为书写简洁起见，式常简写成 或 若为封闭的有向曲线，则记为 若记，则式可写成向量形式 或 于是，力沿有向曲线对质点所作的功为 。 倘若为空间有向可求长度曲线，为定义在上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线上的第二型曲线积分，并记为 ， 或简写成 。 当把与看作三维向量时，式也可表示成式的向量形式。 第二型曲线积分与曲线的方向有关。对同一曲线，当方向由到改变为由到A时，每一小曲线段的方向都改变。从而所得的也随之改变符号，故有 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积，它与曲线的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。 类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质： 1. 若存在，则也存在，且 , 其中为常数。 2. 若有向曲线是由有向曲线首尾相接而成，且存在，则也存在, 且 。二 第二型曲线积分的计算 与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。 设平面曲线 ， 其中在上具有一阶连续导函数，且点与的坐标分别为与。又设与为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分 仿照中定理的方法分别证明 ，， 由此便可得公式，这里不再赘述了。 对于沿封闭曲线的第二型曲线积分的计算，可在上任意选取一点作为起点，沿所指定的方向前进，最后回到这一点。 计算，其中分别沿如图中路线 (i)直线； (ii)(抛物线：)； (iii)(三角形周界) 解　(i)直线的参数方程为， 。 故由公式可得 。 (ii)曲线为抛物线，所以 。 (iii)这里是一条封闭曲线，故可从开始，应用上段的性质，分别求沿和上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分。 由于沿直线的线积分为。 沿直线的线积分为 。 沿直线的线积分可由(i)及公式得到 所以 例2 计算，这里(i)沿抛物线，从到的一段（图20-4）；(ii)沿直线段；(iii)沿封闭曲线。 解 (i) 。 (ii) 。 (iii)在一段上，在一段上，在一段上与(ii)一样是从到的一段。所以 (见(ii))。 因此 。 对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与式相仿。设空间有向光滑曲线的参量方程为 ， 起点为，终点为，则。 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致。 例3 计算第二型曲线积分 ， 其中 是螺旋曲线，从到上的一段。 解 由公式， 。 求在力作用下， (i)质点由沿螺旋线到所作的功（图），其中； (ii)质点由沿直线到所作的功。 解 如本节开头所述，在空间曲线上力所做的功为 。 由于，所以 。 (ii)的参量方程为 。 由于所以 。 复习思考题、作业题： 1 (1)(4), 2