数学分析十讲习题册、课后习题答案.doc

PAGE PAGE1 / NUMPAGES27 习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）, 解：原式= == （2）； 解：原式 （3） 解：原式 （4）， 解：原式 （5） 解：原式 = （6） ，为正整数； 解：原式 2．设在处二阶可导，计算. 解：原式 3．设，，存在，计算. 解： 习 题 1-2 1.求下列极限 （1）; 解：原式 ，其中在与之间 （2）; 解：原式===，其中在与之间 （3） 解：原式 ，其中在与之间 （4） 解：原式，其中其中在与之间 2．设在处可导，，计算. 解：原式 习 题 1-3 1．求下列极限 （1）, 解：原式 （2）; 解： （3）; 解：原式 （4）; 解：原式 2. 求下列极限 （1）; 解：原式 （2）; 解：原式 习 题 1-4 1．求下列极限 （1）； 解：原式 （2）求； 解：原式 （3）； 解：原式 （4）； 解：原式 此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为 ， 所以 从而 解得： 3．设在处二阶可导，用泰勒公式求 解：原式 4. 设在处可导，且求和. 解 因为 所以 ,即 所以 习 题 1-5 1. 计算下列极限 (1) ; ; 解：原式 (2) 解：原式 2． 设，求 (1) ； 解：原式 (2) ， 解：由于， 所以 3．设，求和. 解：因为，所以 且 从而有stolz定理， 且 所以， 4．设，其中，并且， 证明：. 证明：因，所以 ，所以 ，用数学归纳法易证，。 又，从而单调递减， 由单调有界原理，存在，记 在两边令，可得 所以 习 题 1-6 1. 设在内可导，且 存在. 证明: 证明： 2. 设在上可微， 和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则 从而 所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得 4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，， 所以 习 题 2-1 （此题已换） 1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数 证明：反证法. 假若且互质， 于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾 2. 求下列数集的上、下确界. （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4）. 解： 3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性， 在区间中必有有理数，则且 不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义， 有.若也是的上确界且 .不妨设，则对 有即 矛盾. 下确界的唯一性类似可证 习 题 2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取； 若不是的下界，则取；……， 按此方式继续作下去，得一区间套，且满足： 是的下界，不是的下界. 由区间套定理 ，且. 下证： 都有，而， 即是的下界. 由于，从而当充分大以后， 有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界 2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界， 记使在其上无界的区间为；再二等分， 记使在其上无界的区间为，……，继续作下去， 得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知 在上无界 3.设,在上满足,,若 在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若， 则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若， 则记；若， 则记按此方式继续下去， 得一区间套，其中 根据区间套定理可知， 且有 . 因为在上连续，所以 注意到 可得 ， 再由 可知 ， . 习 题 2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证 因为， 所以发散. (2), 证明：因为 所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然 不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列， 由极限定义 对任意给定的，总存在正整数，当时，， 从而有； 由于，对任意，存在正整数， 当时，，取， 则任意时，