清华大学2016自主招生暨领军计划试题 解析版.docVIP

PAGE PAGE 3 2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1.已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D.取决于的值 答案：注意，答案C. 2. 已知的三个内角所对的边为.下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ） A. B. C. D. 答案：对于选项A，由于，于是有唯一取值2，符合题意； 对于选项B，由正弦定理，有，可得，无解； 对于选项C，条件即，于是，不符合题意； 对于选项，由正弦定理，有，又，于是，符合题意. 答案：AD. 3.已知函数，下列说法中正确的有（ ） A.在点处有公切线 B.存在的某条切线与的某条切线平行 C. 有且只有一个交点 D. 有且只有两个交点 答案：注意到为函数在处的切线， 如图，因此答案BD. 4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点.下列说法中正确的有（ ） A.以线段为直径的圆与直线一定相离 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D.以线段为直径的圆与轴一定相切 答案：对于选项A，点到准线的距离为 ，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离； 对于选项B,C，设，则，于是，最小值为4.也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值； 对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. 答案：AB. 5. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点.下列说法中正确的有（ ） A.时，满足的点有两个 B. 时，满足的点有四个 C.的周长小于 D. 的面积小于等于 答案：对于选项A,B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点； 对于选项C，的周长为； 对于选项D，的面积为. 答案：ABCD. 6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对. 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案：乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD. 7. 已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点.以下说法正确的有（ ）A.四点共圆 B. 四点共圆 C. 四点共圆 D.以上三个说法均不对 答案：7.对于选项A，即得； 对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意； 对于选项C，即得. 答案：AC. 8.是为锐角三角形的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：必要性：由于, 类似地，有， 于是. 不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形. 答案：B. 9.已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ） A. B. C. D. 答案：由于，故. 若，则，可得； 若，则，可得； 若，则，进而解得； 若，则，可得. 答案：B. 10.集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 答案：不妨假设，若集合中的正数的个数大于等于4，由于和均大于，于是有，从而，矛盾！所以集合中至多有3个正数.同理可知集合中最多有3个负数. 取，满足题意，所以的最大值为7.答案B. 11.已知，则下列各式中成立的有（ ） A. B. C. D. 答案：令，则， 所以， 以上三式相加，即有. 类似地，有， 以上三式相加，即有. 答案BD. 12.已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ） A. B. C. D. 答案：设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图， 于是可得， 左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得.因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为.答案B. 13.已知，则下列结论正确的有（ ） A.的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 答案：由可得.设，则是关于的方程的三个根.令，则利用导数可得，所以，等号显然可以取到.故选项A,B都对. 因为，所以，等号显然可以取到，故选项C错误. 答案ABD. 14.数列满足，对