积分因子求解方程方法（毕业学术论文设计）.doc

安徽建筑大学 毕业设计（论文） PAGE 1 第一章 绪论 1.1 研究综述 微分方程是反映客观现实世界中量与量的变化关系，它是自变量、未知函数及其导数的关系式，微分方程作为分析的一个重要分支在实际的应用过程当中发挥着重要作用.但是针对微分方程的解法方法众多，在研究一阶常微分方程也没有通用的初等解法，所以在求解过程中如何快速，准确的求出通解就成了必须要去解决的问题，而积分因子是一种很好的方法，所谓积分因子法就是需要合适的函数乘以方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0俩边将非恰当微分方程转换为恰当微分方程，恰当微分方程往往是比较容易求出通解的.这种方法之所以能够在各种求解方法中脱颖而出是因为它可以解决很多类型的一阶微分方程，对于二阶方程同样也可以，但是寻找积分因子的过程是因方程的类型而不同的有些积分因子甚至通过观察法便可求出，而有些积分因子要经过一些复杂的推导过程去求解在这个过程当中会用到很多技巧和一些数学思想，针对方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0一般教材上仅给出了关于x和y的积分因子的充要条件,介绍了用熟记简单的二元函数全微分公式、用分项组合的方法求解微分方程的通解，但这对于类型众多的微分方程来说是远远不够的，因此就需要用过学习掌握更多类型的积分因子以及一些解题技巧，如观察法、恒等变形、变量替换、待定系数等以及利用性质和结论去求解微分方程.在确定了积分因子以后也可以很快的解出原方程的通解，求解积分因子的过程是需要学习的重点也是锻炼数学能力重要的途径. 研究背景 一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，积分因子法就是把一个一阶微分方程化为全微分方程求.如果掌握这一些方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，尽而大大提高解微分方程的效率,在研究的过程中要侧重于解决求积分因子的困难性，即针对各种类型的微分方程，给出相应的积分因子，这类研究的确有助于学习积分因子的相关内容，但也有一定的局限性，即只能掌握具体的微分方程的相关知识.与推导一阶微分方程的积分因子不同二阶微分方程积分因子的推导就需要一定的逻辑性.在学习的过程中主要解决求解积分因子过程当中所用到的各种基本方法和一些技巧，在总结这些技巧的过程当中学会归纳数学思想，在研究的过程当中应当通过各种实例，以及不同类型的方程来总结积分因子的求法，总结规律掌握一套自己的方法. 预备知识 一阶微分方程我们可以将它写成微分形式，或把x,y平等看待，写成具有对称形式的一阶微分方程（1），这里假设在某矩形区域内是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数.这样的形式便于我们研究方程的通解.这里如果方程（1）的左端恰好是某个二元函数的全微分即 =，则称（1）为恰当微分方程.容易验证=C为方程的通解,（C为任意常数）这里会提出一个疑问，我们怎么来判断一个微分方程式恰当微分方程呢？如果方程（1）是恰当方程如何求得？为了解决这个问题我们可以对分别对y,x求偏导数，得到由的连续性，可得故（2）因此（2）式是（1）的必要条件，还需要证明下充分条件在这样的证明过程当中也就回答了提出的俩个问题.我们从出发，把y看作参数，解这个方程得到，（3）这里是y的任意可微函数.现在我们可以来确定使u同时满足，即由此我们可得（4）这是我们只需证明（4）的右端对x的偏导数恒等于零，即： ，通过证明我们可以得出恰当微分方程（2）的通解就是（5） 因此我们通过判断和是否相等来确定方程式否为恰当微分方程.当然求解恰当微分方程的方法不止这一种，这里介绍一种比较常用且较为简单的方法即公式法恰当微分方程（2）的通解可以表示为，.在确定过方程是恰当微分方程后有时也并非按照上述方法求解，而是采用“分项组合法”先把本身已经构成的全微分项分出，在把剩下的项凑成全微分这就需要熟悉一些常用的二元函数的全微分，这种方法对于我们以后的积分因子求解有很大的帮助,因此必须熟练掌握这个基本功.一些常见的二元函数全微分如下： 积分因子的概念及定义 上一节介绍了恰当微分方程的一些内容，在实际的应用当中恰当微分方程通常是不常见的，也就是会遇到很多非恰当微分方程即不满足恰当微分方程的充要条件（），这时就需要将非恰当微分方程给转换成恰当微分方程使其满足恰当微分方程的充要条件.而这个转换的过程就需要积分因子来实现.下面介绍积分因子的概念.对于方程（1）如果存在某个连续函数使得 （6）为恰当微分方程则称为方程（1）的一个积分因子.由（6）式可以看出如果它满足恰当微分方程的充要条件，那么（7）必然成立，我们可以将（7）式更一步具体下，即可得到，将此式整理变形为（8） 便得到了积分因子的充要条件.（8）式对于以后求解某些类型的积分因子有着很重要的作用，但是它不适合解