胡适耕 实变函数答案 第三章A.docVIP

PAGE PAGE 86 第三章习题 A 1.证明：3.1.2 设,存在,可测,则亦存在,且=． 证　若，可测，显然，存在， 不妨设，0且互不相等，为X中互不相交的可测集，由．所以 ． 又,故，从而 ． 若，可测，显然有， ，存在，显然，且 令，显然，，且， ，， ．∴=. ，则，由于存在，故，中至少一个有限，不妨设，由于，由知，且=，从而， 从而存在，同理由=，且 === ． 2．设如§中例3，，求. 解　§中例3中的定义如下: 设是任一非空集,取定,对任给, 定义 ； 且 又由定义知． ∴=+=0 +== ∴=． 3．设，则． 证　由3.2.2引理知,对有， 又由3.2.3(i)知, ，从而 ，故． 4．设则． 证　由，知．因为， 所以由命题3.2.3知，又，故． 5. 设则对每个可测集有． 　证　“”由存在 由于，又 故，由命题3.2.4知,即． 　　“”令． 即，由命题3.2.5知，在上，从而.同理可证. 又 ，故在上 . 6．设对任何可测集有则. 证　令,则有，在上，则有， ∴， 由命题3.2.5，当时 于于，故于. 7．求证：若则à 上的集函数 是一个测度． 证　() à ； () 若à 则à ； () 若à ，则à ，故à 为上的一个代数， () (即)； () 若à 是互不相交的可测集, ∵ ∴ 故à上的集函数是一个测度. 8．设对上的任何有界可测函数g有则. 证:取； 则，故在上.. 9．设则 证　已知由命题 3.2.3 (ii) 知： ∵为升列,则为降列,又由3.2.7 (ⅲ)知, 其中 ∴ ∴． 最后让我们说明，此由已知，故，即可知. 10．设，且有限, 则. 证　令，则由积分单调性，得： . 令，则当时， 由积分的可加性，得． ∵ ∴ 利用积分的下连续性，令， 故. 11．设可测（1每个至少属于个，则某个 证　∵ 且至少属于个． ∴ ∴使得 若不然，则，均有，矛盾． 12．设在集上在的长为的余区间上求 解　∵ ∴ ∴ 令则这样的共有个，且互不相交， 又在上， ∴ 13．设在可微，则在上可积. 证　（1）先证对适当的可积 由倒数定义知，存在 故对，使得在中， 有 ∴． （2）再证． 对上述，当时，有． ∵ ∴，同理可证，． 综上所述，在上可积． 14．设一致连续，则. 证　不妨设，设当时，不趋于0，则存在对任意的，总存在，因一致连续，故，使得对每个，在每个上，，且互不相交，从而 由此得出，这与已知矛盾．故. 15．设是上的计数测度，则有可数集，使. 证　不妨设由命题3.2.3（ii）知：有有限测度，即存在使得有有限测度. 由于是计数测度，． 因为可数个可数集的并集还是可数集，所以是可数集． ∴集是可数集.不妨设 ∴ 16．设或，则 . 证　当时，有， 由Levi定理，有， 又，故积分都存在，同样由于，也有，故存在，从而也存在． ∴ ∴ 同理可证当时，亦有上述结论． 17．设可测，则几乎每个至多属于有限个. 证　可测可测 则由定理的推论知． ∴ ∴在上几乎处处有限. 设属于无限多个},则.则几乎每个至多属于有限个 18．设可测{至少属于个}，则. 　　证　首先证明对于可测集序列， 是中可测集．此由各可测，故各相应的特征函数是上的非负可测函数列． 于是令，其中是单调上升可测函数列 的极限函数， 故也是可测函数，即，于是由可测函数为特征性质，是中可测集．注意到，于是证得可测． 　　其次，一方面显然有，另一方面，由定理，，于是得到，即． 19．求 解　因为， 在非负连续， 由3.3.2可逐项积分， ) ． 20．设若，则；若 则． 证　(ⅰ) 若，则 由定理，有 ∵ ∴ ∴． 　　（ii）若则． 由定理，有． ∵ ∴ 即． 从而. 21．设，则. 证　（1）先取一列，使得， （2）由有.由定理2.4.2 (ⅲ) ，又有的子列 由定理， 则. 22、设或则. 证　当，有. ∴∴，则． 当则有子列几乎处处收敛于． ∴ ∴可积 ∴. 23．设，则. 证　由于，故 于是.设则． ∴． 又故． 因为 ，由控制收敛定理，有，则. 24．设，验证 ，且. 证　∵ ∴ ∴，取，则 ∴. 25．求． 解　令，在上，， 在上， 取，则． 又，由控制收敛定理. 26．求. 解　令，在上，， 在上， 取，则． 又，由控制收敛定理. 27．求. 解　令，在上，， 在上，， 取，则 又，由控制收敛定理. 28．求. 解　令，在上，， 在上，， 取，则. 又 由控制收敛定理. 29．求. 解　令，在上，， 在上，，