2018年度中考复习二次函数综合应用.docVIP

2018年中考复习二次函数综合应用 类型一 线段、周长问题 1、（2016?淄博23．（9分））已知，点M是二次函数y=ax2（a＞0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为． （1）求a的值； （2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标； （3）当点M在第一象限时，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题． （2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问题． （3）设M（n，n2）（n＞0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题． 【解答】解：（1）∵圆心O的纵坐标为， ∴设Q（m，），F（0，）， ∵QO=QF， ∴m2+（）2=m2+（﹣）2， ∴a=1， ∴抛物线为y=x2． （2）∵M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，）， ∵O、Q、M在同一直线上， ∴KOM=KOQ， ∴=， ∴m=， ∵QO=QM， ∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2， 整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0， ∴4t4+3t2﹣1=0， ∴（t2+1）（4t2﹣1）=0， ∴t1=，t2=﹣， 当t1=时，m1=， 当t2=﹣时，m2=﹣． ∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）． （3）设M（n，n2）（n＞0）， ∴N（n，0），F（0，）， ∴MF===n2+，MN+OF=n2+， ∴MF=MN+OF． 【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 2、（2017年东营25题12分）如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值． 【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+ （3） 【解析】 试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标； （2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值． ∴=tan30°=，即=，解得AO=1，学@科网 ∴A（﹣1，0）； （2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+； （3）∵MD∥y轴，MH⊥BC， ∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH=DM，MH=DM， ∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM， ∴当DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点M是直线BC上方抛物线上的一点， 考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想 类型二 图形面积问题 3、（2016烟台25题12分）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式． （2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（，3），从而求出梯形的面积． （3）先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣ m+9），最后根据勾股定理求出MN=，从而确定出MN最大值和m的值． 【解答】解：（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），