上海交通大学816自控考研考前辅导班讲义6-4 频域:奈氏 判据.ppt

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上海交通大学816自控考研考前辅导班讲义6-4 频域:奈氏 判据.ppt

6-4 控制系统稳定性分析 ---Nyquist稳定性判据 基本思想:利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任一 点,经过复变函数F(s)的映射,在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 令:s从 开始沿任一闭合路径Γs (不经过F(s)的零点和极 点)顺时针旋转一圈,F(s)的相角变化情况如下: 零点(-Zi) 极点(-Pj) 1) –Zi在Γs外。 2) –Pj在Γs外。 结论:相角无变化 1) –Zi在Γs内, 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内, 。(逆时针) 结论:若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点,则当s沿Γs顺时 针方向旋转一圈时, F(s) 相角有变化(顺时针): 幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时,映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点(Z – P)圈。即 N=Z-P (或逆时针绕原点N= P - Z圈) 其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时 针为正,顺时针为负。 三、奈魁斯特稳定性判据 1.奈氏路径 顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 F(s)的任何零、极点, 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴(包 括原点)上时,则以 这些点为圆心,作半 径为无穷小的半圆, 按逆时针方向从右侧 绕过这些点。 2. 奈氏判据 设: ——闭环系统特征多项式 显然:F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1+G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N= P - Z 当Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的。 (2)G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1,所以系统稳定性可表述为: 奈氏判据:闭环系统稳定的充要条件是:s沿着奈氏路径绕 一圈,G(jω)H(jω)曲线逆时针绕(-1,j0)点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0,且 N=0,即GH曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系 统稳定; b.若P≠0,且N=P,即GH曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则 闭环系统稳定,否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取: Z=P-N c.若GH曲线通过(-1,j0)点L次,则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。 例: 一系统开环传递函数为: 试判别系统的稳定性。 解:本系统的开环频率特性 当 变化时, 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面,即:P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕(-1,j0)点的1圈,即 N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。 a. 当s=0是开环极点时,奈氏路径: s= - j0→+j0时,以原点为圆心,作 半径为 无穷小的半圆,按逆时针 方向从右侧绕过原点。 令 , ε→0 当从s=-j0转到+j0 时,θ从-90°变到+90°(Ⅰ型系统 ) 所

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