数学培优竞赛新方法(九年级)-第16讲 转化灵活的圆中角.doc

第16讲 转化灵活的圆中角 知识纵横 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化。 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对焦互补和外角等于内对角，可将于圆有关的角互相联系起来。 熟悉以下基本图形、基本结论。 例题求解 【例1】 如图，圆是的外接圆，是直径，，则的度数是_____________ （2011年荆州市中考题） 思路点拨 略 【例2】 如图，为圆的直径，交圆于点，交圆于点，，，现给出以下四个结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③弧=弧； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④其中正确的结论的序号是（ ） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④ （苏州市中考题） 思路点拨 充分运用于圆有关的角，寻找特殊三角形、相似三角形，逐一验证。 【例3】 如图，已知四边形外接圆的半径为5，对角线与的交点为，且，求的面积。 思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得为弧中点，这是解本例的关键。 【例4】 如图 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，圆中是直径，是圆上一点，，等腰直角三角形中是直角，点在线段上。 （1）证明：、、三点共线； （2）若是线段的中点，是线段的中点，证明：； （3）将绕点逆时针旋转后，记为（如图 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②），若是线段的中点，是线段的中点，是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由。 （2011年广州市中考题） 思路点拨 对于（2），充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系于位置关系。 【例5】 如图，是圆中的三条弦，点在上，且 求证：（1）；（2） （浙江省竞赛题） 分析 对于（2）， 需证，从构造相似三角形入手。 【例6】 如图，已知是圆的直径，平分，求证： 分析与解 如图，补短构造或联想角平分线性质等。 学力训练 基础夯实 如图，为圆的直径，为圆上一点，且，点在圆上（不与重合），则的度数是__________________. （抚顺市中考题） 如图，已知均在圆上，且为圆的直径，则_________________. （河南省中考题） 如图，已知两点的坐标分别为，是外接圆上一点，且，则点的坐标为________________. （苏州市中考题） 如图，已知圆的内接四边形的对角线平分，，于，给出下列结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③。其中，正确结论的序号是__________________. 如图，是圆的内接正三角形，四边形是圆的内接正方形，，则（ ）。 （安徽省中考题） 如图，是圆内接三角形的高，是圆的直径，，，