《图论课件--与色数有关的几类图和完美图》课件.ppt

* 作业 P187---190 习题7 ：22 ，23，24，26 * Thank You ! 谢谢！ * 图论及其应用 应用数学学院 * 本次课主要内容 (一)、与色数有关的几类图 (二)、完美图简介 与色数有关的几类图和完美图 * 1、临界图 (一)、与色数有关的几类图 定义1 若对图G的任意真子图H，都有 ，则称G是临界图。点色数为k的临界图称为k临界图。 3临界图 4临界图 非临界图 注：临界图由狄拉克在1952年首先提出并研究。上面的4临界图是Grotzsch在1958年提出的。 * 定理1 临界图有如下性质 (1) k色图均有k临界子图； (2) 每个临界图均为简单连通图； (3) 若G是k临界图，则δ≥k-1。 证明： (1)是显然的。 (2) 因为删掉环或平行边中的一条边并不破坏原有的顶点正常着色，所以每个临界图是单图；又因为删掉色数较小的分支，剩下部分的图的色数和原图色数相等，所以，临界图必须是连通图。 * (3) 若不然，δ k-1。 设d(v)=δ。因为G是k临界图，所以G-v是k-1可正常顶点着色的。设п是G-v的k-1正常顶点着色方案，显然，它可以扩充为G的k-1正常点着色方案。这与G是k临界图相矛盾。 推论：每个k色图至少有k个度不小于k-1的顶点。 证明：因G是k色图，所以，它包含k临界子图G1,所以有：δ(G1)≥k-1,即G1中至少有k个顶点，其度数不小于k-1。所以，G中至少有k个度不小于k-1的顶点。 例1 利用上面推论证明：对任意图G，有： * 证明：设G的点色数为 。由推论，G中至少有 个顶点，其度数不小于 所以， ，即： 例2 求证：临界图没有割点。 证明：设G是k临界图。如果G有割点v, 设G1,G2,…,Gr是G-v的分支。又设第i个分支顶点集为Vi (1≦i≦r)。 设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色，那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。 * 例3 求证：仅有的1临界图是k1;仅有的2临界图是K2;仅有的3临界图奇圈。 证明：由于1色图是空图，所以1临界图只能是K1;2色图是偶图，所以，2临界图只能是K2; 3色图必然含有奇圈，而奇圈的色数是3，所以，3临界图只能是奇圈。 例4 求证：布鲁克斯定理等价于下述命题：若G是k临界图(k≥4), 且不是完全图，则2m≥n(k-1)+1,其中m为G的边数而n为顶点数。 证明：(1) 由布鲁克斯定理推例4中命题。 因G是k临界图,所以G是连通单图，又k≥4, 所以G不能是奇圈，再由G不是完全图，所以由布鲁克斯定理有 * k≦Δ。 再由k临界图的性质，有δ≥k-1.所以： (2) 由例4中命题推布鲁克斯定理。 因为连通单图G不是奇圈，也不是完全图。设G的k临界子图是H。 情形1， H是奇圈。 在这种情况下，由于G不是奇圈，所以，H之外必然有边和H相连，即Δ(G)≥3,另一方面，k(G)=k(H)=3,所 * 以，k(G)≦Δ(G); 情形2， H是完全图Hk 在这种情况下，由于G是连通的非完全图，那么在H之外，必然有边和H相连，即Δ≥K(H)=k(G); 情形3， H既不是奇圈又不是完全图，由例3知道，k≥4。H满足例4中条件。 所以，由例4中的结论有： 所以，有： * 即证明： 2、唯一可着色图 对图的顶点进行正常着色，实际上给出图的顶点集合的一种划分，不同的着色方案，给出的划分一般不同。但是，也存在一类特殊图，对于任意的最优着色方案，导出的顶点划分却是相同的。为此，我们给出如下定义。 定义2 设简单标定图G的点色数是k, 如果在任意的k正常点着色方案下，导出的顶点集合划分唯一，称G是唯一k可着色图，简称唯一可着色图。 * 例5 考察下面3色图是否是唯一3可着色图。 v3 v2 v1 G1 v1 G2 v5 v4 v3 v2 G3 v5 v4 v3 v2 v1 解：(1) 对于G1来说，G1