微分方程数值解实验二_热传导方程的有限差分数值模拟.docVIP

PAGE PAGE 5 微分方程数值解实验报告 专业 信息与计算科学 班级 0703 姓名 老武 学号 2007060*** 协作队员 实验日期2010 年 10 月 成绩评定 教师签名 批改日期 题目 热传导方程的有限差分数值模拟 问题提出 一根长为L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求细杆内温度变化的规律。 模型建立 设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+△x的一段。 其质量为△m=ρ△x，热容量为c△m。设杆中的热流沿x轴正向，热流强度为q(x,t)，热量为Q(x,t),温度分布为 u(x,t)。 △x内细杆吸收热量的来源只有热传导(无热源)。 由热传导的Fourier定律,有 (1) 由能量守恒定律，在△t内细杆[x,x+ △x]上的能量有 即 于是有 (2) 结合(1)和(2)得 (3) 其中 求解方法 使用古典显格式： 其中 (k和h分别为时间与空间方向的步长，取k=0.005，h=0.1使得) 取 L=1，细杆各处的初始温度为 ，两端截面上的温度为0。 Matlab程序如下： %古典显格式 clc; x0=0:0.1:1 t=0:0.005:0.1; n=length(t) Un=sin(pi*x0) for i=1:n un=[]; u=[]; for r=1:11 u1=exp(-pi^2*t(i))*sin(pi*x0(r)); u=[u u1]; end u for j=2:10 Un1=Un(j)+0.5*(Un(j+1)-2*Un(j)+Un(j-1)); un=[un Un1]; end un=[0 un 0] e=abs(u-Un) Un=un; End 输出结果 表一：数值模拟结果 0 0.005 0.010 0.015 0.020 … 0.995 (1e-004) 1.000 (1e-004) 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 0.0000 0.3090 0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000 0.0000 0.2939 0.5590 0.7694 0.9045 0.9511 0.9045 0.7694 0.5590 0.2939 0.0000 0.0000 0.2795 0.5317 0.7318 0.8602 0.9045 0.8602 0.7318 0.5317 0.2795 0.0000 0.0000 0.2658 0.5056 0.6959 0.8181 0.8602 0.8181 0.6959 0.5056 0.2658 0.0000 0.0000 0.2528 0.4809 0.6619 0.7781 0.8181 0.7781 0.6619 0.4809 0.2528 0.0000 … … … … … … … … … … … 0.0000 0.1422 0.2706 0.3724 0.4378 0.4603 0.4378 0.3724 0.2706 0.1422 0.0000 0.0000 0.1353 0.2573