《线性代数向量组的线性相关与线性无关》课件.ppt

§3.2 向量组的线性相关 与线性无关 一、线性组合的概念 定义1： 和向量 如果存在一组实数 使得 则称向量 是向量组A的线性组合， 给定向量组 或称向量 能由向量组A线性表示。 例如： 有 所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 线性方程组的矩阵表示和向量表示： 令 方程组可表示为 其中 若记 即 为方程组的系数列向量 则方程组的向量表示为 即 则线性方程组是否有解等价于向量方程 是否有解 而向量方程是否有解等价于向量 能否用向量组 线性表示 例 线性方程组 则方程组可以表示为向量方程 则方程组可以表示为向量方程 由于方程组存在一组解 即存在一组数 使 即 能用向量组 线性表示 方程组的解 线性表示的系数 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 以 为系数列向量，以 列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 为常数项 由此我们得到如下结论： 二、线性相关性与线性无关 定义2 则称向量组A是线性相关的， 线性无关 则必有k1=k2=…=km=0 否则称它线性无关． 向量组 由于存在不全为零的数2，1，-1使 故向量组 线性相关 例如 而向量组 不存在不全为零的数 使 即只有 时 才成立 所以向量组 线性无关 说明 1.对于任一向量组，不是线性相关就是线性无关。 2. 向量组只包含一个向量时，如果它线性相关，则必是零向量。 3.包含零向量的任何向量组是线性相关的。 4.对于含有两个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例。 例如 如果 线性相关，则使等式 成立的 中至少有一个非零 假设 则有 即两向量的对应分量成比例 两向量相差常数倍 线性相关性在线性方程组中的应用 可表示为向量方程 其中 则齐次线性方程组是否有非零解等价于向量方程 是否有非零解 而向量方程是否有非零解等价于向量组 是否线性相关。 由此我们得到如下结论： 向量组 线性相关的充分必要条件是：齐次线性方程组有非零解。 显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题 命题1 设有两个向量组 若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 对应向量组 线性无关 说明 增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变 由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题 命题2 设有两个向量组 则向量组A与B的线性相关性相同。 其中 是 这n个自然数的某个确定的排列， 说明 改变方程的次序相当于改变向量 的各分量的次序。 例 1 证明 n 维单位坐标向量组 线性无关；并将任意n维向量 表示成 的线性组合 解 设存在一组数 ，使得 按照向量的数乘、加法运算可得 根据向量相等的定义，即有 所以 线性无关 对于任意给定的n维向量 例2 讨论向量组 的线性相关性 解 假设存在 x, y, z，使得 即 由向量相等的定义得 容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使 所以 线性相关 实际上象这样维数和向量个数相等的向量组，讨论线性相关或无关时，只需考虑以α、β、γ构成的行列式是否为0，为零则线性相关，否则线性无关。 例3 设 则t为何值时向量组 线性相关 解 向量组 线性相关等价于行列式 即t＝5时