2009级数学分析第2学期测验解答2010-4.docVIP

解答 共6页 第 PAGE 6页 工科数学分析测验解答（2010.4.11） 姓名＿＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿ 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得 分 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 下列广义积分发散的是 ……【 B 】 (A). (B). (C). (D). 2. 方程的一个特解的形式为(其中) ……【 B 】 (A). (B). (C). (D). 3. 直线绕轴旋转一周所得旋转曲面是 ……【 A 】 (A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭球面. (D) 圆锥面. 4. 设，则下列结论中正确的是 ……【 D 】 (A)若收敛，则有. (B)若，则有收敛. (C)若发散，则有. (D)若，则有发散. 5. (电院)下列断语中 ……【 A 】 ① 若在上收敛, 则在上内闭收敛. ② 若在上内闭收敛, 则在上收敛. ③ 若在上一致收敛, 则在上内闭一致收敛. = 4 \* GB3 ④ 若在上内闭一致收敛, 则在上一致收敛. (A) 仅①、②和③正确. (B) 仅①和③正确. (C) 仅①和②正确. (D) ①、②、③和 = 4 \* GB3 ④全正确. 5. (管院)双纽线所围成区域的面积为 ……【 A 】 (A). (B). (C). (D). 二、填空题（每小题4分，共16分） 1. 以向量和为邻边的平行四边形的面积为. 2. 设，则, . 3. (电院)函数列在内的极限函数0； 在内不一致收敛于(填“一致”或“不一致”). 3. (管院). 4. 微分方程的通解为. 三、（本题共11分）求方程满足初始条件的特解. 解 令，则方程化为 …… 2分 由得，于是，导出 …… 8分 , 再由得，因此特解为. …… 11分 四、（每小题10分，共20分） 设曲线的方程为 求绕轴旋转所得旋转曲面的方程, 以及该旋转曲面与平面所围成的立体的体积. 解 旋转曲面方程为 …… 5分 它与平面所围成的立体的体积. …… 10分 设直线与直线相交, 与平面平行，且过点，求的方程. 解一 平面的法向量, 直线的方向向量, 过的点, 则. 设直线的方向向量, 由于, 故, 即 . …… 4分 又因为与相交, 从而共面, 所以, 即 . …… 8分 联立前两式, 解得, . 取, 得, 故直线的方程为 . …… 10分 解二 直线在过点且与平面平行的平面上，其方程为 , 即. …… 4分 设直线与点决定的平面为, 则其法向量可取为 , …… 8分 从而该平面方程为, 即. 所以直线的一般式方程为 ……10分 五、判断下列广义积分或级数的敛散性（每小题10分，共20分）. 1. . 解 ，将之记为. …… （2分） 由于，故仅当时，即时收敛. ……（4分） 当时，由于，据p-判别法知发散； 当时，取，则，故收敛. ……（8分） 综上知：仅当时，原积分收敛. ……（10分） 2. (含条件收敛和绝对收敛性) . 解 当时, 发散； …… 2分 当时, , 且收敛, 故绝对收敛； …… 4分 当时，单调下降且趋于0，又 . 据Dirichlet判别法知收敛. 另一方面，由于 …… 7分 , 且发散，类似可得收敛，因此据比较判别法知发散，从而条件收敛. ……（10分） 六、（电院、10分）设. (1) 求的定义域； (2) 证明在内不一致收敛； (3) 讨论在内的连续性. 解 (1) 当时，显然级数收敛；当时，由于且收敛，据比较判别法知级数收敛，从而定义域. …… 2分 (2) 取，则 , 据Cauchy准