《图论课件--生成树的概念与性质》课件.ppt

* 作业 P43 习题2 ： 12, 14, 15 * Thank You ! 谢谢！ * 图论及其应用 应用数学学院 * 本次课主要内容 (一)、生成树的概念与性质 (二)、生成树的计数 (三)、回路系统简介 * 1、生成树的概念 (一)、生成树的概念与性质 定义1 图G的一个生成子图T如果是树，称它为G的一棵生成树；若T为森林，称它为G的一个生成森林。 生成树的边称为树枝，G中非生成树的边称为弦。 例如： 粗边构成的子图为G的生成树。 图G * 2、生成树的性质 定理1 每个连通图至少包含一棵生成树。 证明：如果连通图G是树，则其本身是一棵生成树； 若连通图G中有圈C，则去掉C中一条边后得到的图仍然是连通的，这样不断去掉G中圈，最后得到一个G的无圈连通子图T，它为G的一棵生成树。 定理1的证明实际上给出了连通图G的生成树的求法，该方法称为破圈法。 利用破圈法，显然也可以求出任意图的一个生成森林。 * 推论 若G是(n, m)连通图，则m≧n-1 连通图G的生成树一般不唯一！ (二)、生成树的计数 1、凯莱递推计数法 凯莱(Cayley 1821—1895): 剑桥大学数学教授，著名代数学家，发表论文数仅次于Erdos ,Euler, Cauchy. 著名成果是1854年定义了抽象群，并且得到著名定理：任意一个群都和一个变换群同构。同时，他也是一名出色的律师，作律师14年期间，发表200多篇数学论文，著名定理也是在该期间发表的。 凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。 * 定义2 图G的边e称为被收缩，是指删掉e后，把e的两个端点重合，如此得到的图记为G.e e1 e5 e2 e4 e3 用τ(G)表示G的生成树棵数。 定理2(Cayley) 设e是G的一条边，则有： 证明：对于G的一条边e来说，G的生成树中包含边e的棵数为G.e ，而不包含e的棵数为G-e. * 例1，利用凯莱递推法求下图生成树的棵数。 共8棵生成树。 * 凯莱公式的缺点之一是计算量很大，其次是不能具体指出每棵生成树。 2、关联矩阵计数法 定义3 ：n×m矩阵的一个阶数为min｛n, m｝的子方阵，称为它的一个主子阵；主子阵的行列式称为主子行列式。 显然，n×m矩阵共有 个主子阵。 定理3 设Am是连通图G的基本关联矩阵的主子阵，则Am非奇异的充分必要条件是相应于Am的列的那些边构成G的一棵生成树。 证明：必要性 * 设Am是Af的一个非奇异主子阵，并设与Am的列相对应的边构成G的子图Gm. 由于Am有n-1行，故Gm应该有n-1个顶点(包括参考点); 又Am有n-1列,所以Gm有n-1条边。而Am非奇异，故Am的秩为n-1 ,即Gm连通。这说明Gm是n个点，n-1条边的连通图，所以，它是树。 充分性 如果Am的列对应的边作成G的一棵生成树，因树是连通的，所以，它对应的基本关联矩阵Am非奇异。 该定理给出了求连通图G的所有生成树的方法： (1) 写出G的关联矩阵，进一步写出基本关联矩阵，记住参考点； * (2) 找出基本关联矩阵的非奇异主子阵，对每个这样的主子阵，画出相应的生成树。 例2，画出下图G的所有不同的生成树。 1 2 3 4 a b c d e G 解：取4为参考点，G的基本关联矩阵为： a b c d e 1 2 3 * 共有10个主子阵，非奇异主子阵8个，它们是： 1 2 3 4 a b d a b d 1 2 3 a b e 1 2 3 1 2 3 4 a b e * a c d 1 2 3 a c e 1 2 3 1 2 3 4 a c d 1 2 3 4 a c e * a d e 1 2 3 b c d 1 2 3 3 1 2 4 a d e 1 2 3 4 b c d * a d e 1 2 3 b d e 1 2 3 1 2 3 4 b c e 1 2 3 4 b d e 注：该方法的优点是不仅指出生成树棵数，而且能绘出所有不同生成树；缺点是找所有非奇异主子阵计算量太大！ * 定理3 (矩阵树定理) 设G是顶点集合为V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,的图，设A=(aij)是G的邻接矩阵，C=(cij)是n阶方阵，其中： 3、矩阵树定理 则G的生成树棵数为C的任意一个余子式的值。 说明：(1) 该定理是由物理学家克希荷夫提出的。他于1824年出生于普鲁士的哥尼斯堡。1845年因宣布著名的克希荷夫电流电压定律而闻名，1847年大学毕业时发表了生成树计数文章，给出了矩阵树定理。他的一生主要花在实验物理上。担任过德国柏林数学物理会主席职务。 * (2) 矩阵树定理的证明很复杂，