《第6章曲线和曲面》教学课件.ppt

? NURBS曲面可由下面的有理参数多项式函数表示： 8.5.2 有理基函数的性质 NURBS曲线也可用有理基函数的形式表示： ? 1．普遍性 2．局部性 3．凸包性 4．可微性 5．权因子 8.5.3 NURBS曲线曲面的特点 8.6 曲线曲面的转换和计算 8.6.1 样条曲线曲面的转换? ? 例： ? 三次Hermite样条矩阵： 三次Bezier样条矩阵： 三次均匀B样条矩阵： 8.6.2 样条曲线曲面的离散生成 1．Horner规则 2．向前差分计算 3．细分 The End! 均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，m=3，则n+m=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： ? 曲线的起点和终点值： 均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数： 结论： 对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间。 对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。 三次（四阶）周期性B样条 取m=4，n=3，节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： ? 三次周期性B样条的边界条件为： 2．开放均匀B样条曲线 节点矢量可以这样定义： 令L=n-m，从0开始，按ti≤ti+1排列。 ? 开放均匀的二次（三阶）B样条曲线 假设m=3，n=4，节点矢量为：T=(t0 ,t1,?,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 3．非均匀B样条曲线 ? ? 4．反求B样条曲线控制点及其端点性质 问题：所谓反求B样条曲线控制点是指已知一组空间型值点Qi(i=1,2,?,n)，要找一条m次B样条曲线过Qi点，也即找一组与点列Qi对应的B样条控制顶点Pj(j=0,1,?,n+1)。 ? 用分段三次B样条曲线pi来拟合，其上型值点和控制点的位置矢量之间有关系： 假定需求首末两点过Q1和Qn的非周期三次B样条曲线，则有P1=Q1,Pn=Qn，于是求解控制点Pj (i=2,3,...,n-1)的线性方程组为： ? 补充两个边界条件为： P0 =P-1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn? 8.4.2 B样条曲线的性质 1．局部支柱性? B样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在tk到tk+m的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性。 ? 2．B样条的凸组合性质 B样条的凸组合性和B样条基函数的数值均大于或等于0保证了B样条曲线的凸包性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。? 3．连续性 若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（m-1次）B样条曲线在节点处为m-2阶连续。 B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。 重节点问题? 4．导数 ? ? 5．几何不变性 6．变差减少性 8.4.3 B样条曲面 定义： 控制顶点、控制网格（特征网格）、B样条基函数。 B样条曲面具有与B样条曲线相同的局部支柱性、凸包性、连续性、几何变换不变性等性质。 双三次B样条曲面 8.5 有理样条曲线曲面 NURBS方法：非均匀有理B样条（Nonuniform Rational B-Spline）方法 8.5.1 NURBS曲线曲面的定义 定义： ? 例：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量上的二次（三阶）B样条函数来拟合，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为： 则有理B样条的表达式为： 然后取不同的r值得到各种二次曲线： 8.3 Bezier曲线曲面 8.3.1 Bezier曲线的定义 定义： Bernstein基函数具有如下形式： 注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。? 1．一次Bezier曲线(n=1) ? 2．二次Bezier曲线(n=2) ? ? 3．三次Bezier曲线(n=3) ? ? ? ? ? 8.3.2 Bezier曲线的性质 1．端点? 2．一阶导数 ? ? ? 三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为： 3．二阶导数 ? 三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为： 4．对称性5．凸包性Bezier曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中，这里凸包是指包含所有顶点的最小凸多边形。 6．几何不变性 7．变差缩减性 如果Bezier曲线的控制多边形是一平面图形，则该平面内的任意直线和Bezier曲线的交点个数不多于该直线与控制多边形的交点个数。 8.3.3 Bezier曲线的生成 1．绘图一段Bezier曲线 de