常微分期中练习3.docVIP

一 . 解下列方程 x=+y tgydx-ctydy=0 {y-x(+)}dx-xdy=0 2xylnydx+{+}dy=0 5. =6-x 6. =2 7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。 8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。 二． 证明题 1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。 2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。 试题答案： 02412-35 一 . 解下列方程 解：将方程改写为 =+ （*） 令u= ,得到x=x+ u,则(*)变为x = , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln +lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1…) ，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。 3． 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得 xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。 解：=2xlny+2x , =2x,则 ==,故方 程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得 =z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z= 代回原来的变量y得方程解为=；y=0. 6． 解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=， 再令z=，得到z+=，即=， 分离变量并两端积分得=+lnC 即ln+2arctgz=+lnC， ln=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C 所以，原方程的解为y+2=C. 解：令f(x)=y，=，两边求导得=y， 即=y，即=dx，两边求积得=2x+C， 从而y=，故f(x)= . 解：因为F=ma=m，又F==， 即m= (v(0)=0)，即= (v(0)=0)， 解得v=+(t). 二、证明题 1. 解：1）先找到一个特解y=。 2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。 证明：因为y=为方程的解， 所以=P(x)+Q(x)+R(x) (1) 令y=+z，则有 += P(x)+Q(x)+R(x) (2) (2)(1)得= P(x)+Q(x)z 即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x) 此为n=2的伯努利方程。 2. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为 x+y=nM，x+y=nN，故有 = = ==0. 故命题成立。