《随机过程Ch2随机过程的概念与基本类型》课件.ppt

* * * * * * * * * 概率母函数 母函数是研究非负整数值随机变量非常方便的工具. 定义1.12 设X是非负整数值随机变量,分布列 pk=P(X=k), k=0,1,2,… 当|s|≤1时, 则称P(s)=E(sX)= pksk为X的概率母函数,简称母函数. 母函数具有以下性质: (1)非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定. (2)设P(s)是X的母函数. 若EX存在,则EX=P’(1); 若DX存在,则DX=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2. (3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积. (4)若X1,X2,…是相互独立且同分布的非负整数值随机 变量, N是与X1,X2,…独立的非负整数值随机变量, 则 Y= Xk的母函数H(s)=G(P(s)),其中G(s),P(s)分别 概率母函数 是N,X1的母函数. 证明: (1)P(s)= pksk= pksk+ pksk,n=0,1,…. 上式两边对s求n阶导数,得 P(n)(s)=n!pn+ k(k-1)…(k-n+1)pksk-n. 令s=0,则P(n)(0)=n!pn ,故pn=P(n)(0)/n!, n=0,1,2,…. (2)由P(s)= pksk知,P’(s)= kpksk-1. 令s↑1,得 EX= kpk=P’(1). 又由P’’(s)= k(k-1)pksk-2= k2pksk-2- kpksk-2知, 当s↑1时,P’’(1)=EX2-EX .但 DX=EX2-(EX)2,所以有 DX=P’’(1)+EX-(EX)2=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2. 概率母函数 (3)设随机变量X=X1+X2+…+Xn, 且X1,X2,…,Xn相互独立.因而 也相互独立. 由数学期望重要性质(2)即知 PX(s)=E(sX)=E( ) =E( ) =E( )·E( )·…·E( ) = (s) (s)… (s). (4)H(s)= P(Y=k)sk= P(Y=K, {N=t})sk = P(N=t)P(Y=k)sk = P(N=t) P(Y=k)sk 概率母函数 = P(N=t) P( Xj=k)sk = P(N=t)[P(s)]t=G[P(s)]. 由EX1=P’(1),EY=H’(1),EN=G’(1)及H(s)=G[P(s)]知 H’(s)=G’[P(s)]P’(s)=P’(s)G’[P(s)] 令s↑1, 得H’(1)=P’(1)G’[P(1)],但P(1)=E( )=E(1) =1, 故有 EY=EN·EX1(☆). 例1.8 设商店在一天的顾客数N服从参数λ=1000人的泊 松分布,而每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502).求商店 的日销售额Y的平均值. 解: 由题设知EN=1000, EX1=100, 再由(☆)式得 EY=EN·EX1=1000·100=100000(元). 概率母函数 概率母函数的例 概率母函数的概念在19世纪初由拉普拉斯引入,是概率 论中第一个被系统应用的变换方法.运用于处理整值随机 变量的场合,既简单也方便. 从 pk=1及|s|≤1知,概率母函数对任何整值随机变 量都存在. 二项分布的概率母函数 P(s)= C(n,k)pkqn-ksk=(q+ps)n. 泊松分布的概率母函数 P(s)= =e-λeλs=eλ(s-1). 几何分布的概率母函数 P(s)= qk-1psk=ps (qs)k-1=ps/(1-qs). 概率母函数 对概率母函数性质的简释 1.惟一性 由概率分布及P(s)= pksk所确定的母函数显然是惟一 的.反过来,由概率母函数也能惟一确定随机变量的概率分 布.事实上,如果{pk}与{qk}分别具有概率母函数G(s),H(s) 且若G(s)=H(s),因G(s)和H(s)均为幂级数,在|s|≤1的条 件下绝对收敛,故G(s)与H(s)的k次导数存在,于是有: k!pk=G(k)(0