《随机过程Ch7平稳过程的谱分析》课件.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 联合平稳过程的互谱密度 证明:(1)利用互相关函数性质,得 sXY(ω)= RXY(τ)e-iωτdτ= RYX(-τ)e-iωτdτ = RYX(τ1) dτ1 (τ1=-τ) = RYX(τ1) dτ1=sYX(ω). (2)由于sXY(ω)= RXY(τ)cos(ωτ)dτ -i RXY(τ)sin(ωτ)dτ 所以,其实部是ω的偶函数,虚部是ω的奇函数. (3)利用(▲)式及许瓦兹不等式可证. (4)由(▲)及正交定义RXY(τ)=0和(1)即可证得. 互谱密度没有自谱密度具有明显的物理意义,引进该概 联合平稳过程的互谱密度 念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性. 在实际应用中,常常利用测定线性系统输入、输出的互谱 密度来确定该系统的统计特性.这在下一节将进一步讨论. 例7.9 设X(t)和Y(t)为平稳过程,且它们是平稳相关的, 则过程W(t)=X(t)+Y(t)的相关函数为 RW(τ)=RX(τ)+RY(τ)+RXY(τ)+RYX(τ) 易知其谱密度为 sW(ω)=sX(ω)+sY(ω)+sXY(ω)+sYX(ω) =sX(ω)+sY(ω)+2Re[sXY(ω)]. 显然,sW(ω)是实数. 当两个过程X(t)与Y(t)互不相关时,且它们的均值为 零,则: RXY(τ)=RYX(τ)=0, RW(τ)=RX(τ)+RY(τ), 联合平稳过程的互谱密度 sW(ω)=sX(ω)+sY(ω). 例7.10 已知平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度为 sXY(ω)= 其中a,b,ω0为实常数.求互相关函数RXY(τ). 解:由(△)式得 RXY(τ)= sXY(ω)eiωτdω = eiωτdω = [(aω0τ-b)sin(ω0τ)+bω0τcos(ω0τ)]. 例7.11 设随机过程Y(t)是由一个各态历经的白噪声过程 X(t)延迟时间T后产生的. 若X(t)和Y(t)的谱密度为s0, (a+ibω)/ω0, |ω|＜ω0, 0, |ω|≥ω0. 联合平稳过程的互谱密度 求互相关函数RXY(τ)和RYX(τ),及互谱密度sXY(ω)和 sYX(ω). 解: 由于RXY(τ)=E[X(t)Y(t-τ)]=RYX(-τ),式中Y(t+T) =X(t),所以 Y(t)=X(t-T), Y(t-τ)=X(t-τ-T). 于是 RXY(τ)=E[X(t)X(t-τ-T)]=RYX(-τ), 而 E[X(t)X(t-τ-T)]=RX(τ+T), 因此 RXY(τ)=RX(τ+T)=s0δ(τ+T)=RYX(-τ), sXY(ω)= RXY(τ)e-iωτdτ = s0δ(τ+T)e-iωτdτ=s0eiωT, 且 sYX(ω)= RYX(τ)e-iωτdτ 平稳过程通过线性系统的分析 = s0δ(-τ+T)e-iωτdτ =s0e-iωT. 例7.11中因为X(t)和Y(t)都是白噪声过程,它们的互相 关函数除在τ=T处有值外, 其余各点为零, 所以RXY(T)= RX(O)=RYX(T),它们的图形如上所示. 7.5 平稳过程通过线性系统的分析 平稳过程的一个重要应用是线性系统对随机输入的响 应.在自动控制、无线电技术、机械振动等方面,经常遇 到的各类随机过程是与“系统”相联系的. 所谓系统就是 指能对各种输入按一定的要求产生输出的装置. 如放大 器、滤波器、无源网络等都是系统. 本节所讨论的系统 是指线性系统. RXY(τ) RYX(τ) τ τ T -T s0 s0 o o 平稳过程通过线性系统的分析 1.线性时不变系统 设对系统输入x(t)时系统的作用为L,其输出为y(t),则 它们的关系为: y(t)=L[x(t)]. (☆) (☆)式中“L”在数学上代表算子, 它可以是加法,乘法,微 分,积分和微分方程求解等数学运算. 定义7.5 称满足下列条件的算子为线性算子: 若 y1(t)=L[x1(t)], y2(t)=L[x2(t)],