人教版数学八年级上册教师辅导讲义 第十一章三角形.doc

三角形 1．“三角形两边的和大于第三边”在实际中的应用； 2．三角形的“三线”（高、中线、角平分线）在实际中的应用； 3．三角形、多边形内（外）角和定理及其应用。 一、概念 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形 叫 三角形。 注意其中：①不在同一直线上（或说不共线）；②是三条线段；③首尾顺次相连 这三个条件缺一不可。 二、分类 （1）按角分类：分为 斜三角形（包括锐角三角形 和 钝角三角形） 直三角形（即直角三角形） （2）按边分类：分为 不等边三角形 等腰三角形（包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形 和 三边相等/即等边的三角形） 注：①、等边三角形是特殊的等腰三角形； ②、一个三角形中最多只有一个钝角，最少有二个锐角。 三、三角形的三边关系 1、三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。( 即 a+bc ,或a+cb ,或b+ca ) 2、推论：三角形的任意两边之差小于第三边。 特别注意：（1）、以上两点就是判断任意给定的三条线段能否组成三角形的条件，但在实际做题时，并不需要去分析全部三组边的大小关系，可简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条较短线段之和时，或 当三条线段中最短的线段大于另两条较长线段之差的绝对值时，即可组成三角形。 （2）、已知三角形的两边a，b(ab)，则第三边c的取值范围为：a–b c a + b （3）、并不需要知道三条线段的具体长度，而只要根据它们长度的比值，即可判断是否可组成三角形。 例ⅰ：现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成_______个三角形。 例ⅱ：下列几组长度的线段能组成三角形的是：_____________ ①、3a ,5a ,8a(a0) ②、a2 + 3 ,a2 + 4 ,a2 + 7 (a≠0) ③、3a , 4a , 2a + 1 (a1/5) 例ⅲ：已知M是△ABC内一点，试说明：AB + AC MB + MC (图自画) 四、有关三角形边长的综合问题 1、等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边，题目中往往并不直接说明腰和底边，因此，解题时要分类讨论，以免丢解。 例ⅰ：等腰三角形的周长为24cm，其中两条边长的比为 3 ：2，求该等腰三角形的三边长。 例ⅱ：已知等腰三角形的周长是16cm， （1）若其中一边长为6cm，求另外两边长； （2）若其中一边长为4cm，求另外两边长。 例ⅲ：在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将三角形周长分为21和12两部分，求这个三角形的腰长和底边长。 注：根据三角形三边关系，若等腰三角形的腰长为a，则底边长x 的取值范围是：0 x 2a ； 若等腰三角形的底边为a，则腰长x 的取值范围是：x a/2 2、其它 例：已知△ABC和三角形内的一点P，试说明：AB + AC PB + PC (图略) 五、三角形的中线、角平分线和高（图表区别） 名称 中线 角平分线 高 定义 形状 线段 线段 线段 数量 3条 3条 3条 位置 三角形内部 三角形内部 交点 情况 例：判断对错： （1）三角形的三条高在三角形的内部。（ ） （2）以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线。（ ） （3）三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形。（ ） （4）三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部。（ ） 注：1、画任意一个三角形的三条高，对于初学者来讲，有时会不太熟练，记住，要掌握好三角形的高的定义及位置情况，根据定义正确画出三角形的高，口诀：“一靠二过三画线”； 2、要区分角的平分线和三角形角的平分线，前者是射线，后者是线段； ※ 3、三角形的一条中线把三角形的面积一分为二(因为“等底等高的三角形面积相等”)，三角形的任意一条边与该边上的高的乘积的一半都等于这个三角形的面积，所以，有时，题目中出现了中线，或出现了高时，一定要有从面积入手来解题的意识。 ※ 4、三角形的三条中线相交于一点（这点叫三角形的重心），且把原三角形分成面积相等的六个部