《图论课件第七章图的着色》课件.ppt

* Thank You ! 谢谢！ * 图论及其应用 应用数学学院 * 第七章 图的着色 一、图的边着色 二、图的顶点着色 主要内容 三、与色数有关的几类图和完美图 四、色多项式 五、List着色与全着色 10学时讲授本章 * 本次课主要内容 (一)、相关概念 (二)、几类特殊图的边色数 图的边着色 (三)、边着色的应用 * 现实生活中很多问题，可以模型为所谓的边着色问题来处理。例如排课表问题。 (一)、相关概念 排课表问题：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要给班级yj上pij节课。求如何在最少节次排完所有课。 建模：令X=｛x1,x2,…,xm｝, Y=｛y1,y2,…,yn｝,xi与yj间连pij条边，得偶图G=(X, Y). 于是，问题转化为如何在G中将边集E划分为互不相交的p个匹配，且使得p最小。 如果每个匹配中的边用同一种颜色染色，不同匹配中的边用不同颜色染色，则问题转化为在G中给每条边染色，相邻边染不同色，至少需要的颜色数。 * 这就需要我们研究所谓的边着色问题。 定义1 设G是图，对G的边进行染色，若相邻边染不同颜色，则称对G进行正常边着色； 如果能用k中颜色对图G进行正常边着色，称G是k边可着色的。 正常边着色 定义2 设G是图，对G进行正常边着色需要的最少颜色数，称为G的边色数，记为： * 注：对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。 因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。 * 在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常着色的一个色组。 (二)、几类特殊图的边色数 1、偶图的边色数 定理1 证明：设 又设Δ=n。设颜色集合设为｛0，1，2，…，n-1｝, п是Km,n的一种n着色方案，满足： * 我们证明：上面的着色是正常边着色。 对K m, n中任意的两条邻接边xiyj和xiyk。若 则：i+ j ( mod n)=i +k ( mod n),得到j=k，矛盾！ 所以，上面着色是正常作色。所以： 又显然 ，所以， 例1 用最少的颜色数对K3,4正常边着色。 * 定理2 (哥尼，1916)若G是偶图，则 x2 x1 x0 y3 y2 y1 y0 定义3 设п是G的一种正常边着色，若点u关联的边的着色没有用到色i，则称点u缺i色。 证明：我们对G的边数m作数学归纳。 当m=1时，Δ=1，有 * 设G是具有m条边的偶图。 设对于小于m条边的偶图来说命题成立。 取uv∈ E(G), 考虑G1=G-uv,由归纳假设有： 这说明，G1存在一种Δ(G)边着色方案п。对于该着色方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。 情形1 如果u与v均缺同一种色i, 则在G1+uv中给uv着色i, 而G1其它边，按п方案着色。这样得到G的Δ着色方案，所以： 情形2 如果u缺色i, 而v缺色j，但不缺色i。 * 设H (i, j) 表示G1中由i色边与j色边导出的子图。显然，该图每个分支是i色边和j色边交替出现的路或圈。 对于H(i, j)中含点v的分支来说，因v缺色j, 但不缺色i, 所以，在H(i, j)中,点v的度数为1。这说明，H(i ,j)中含v的分支是一条路P。 进一步地，我们可以说明，上面的路P不含点u。 因为，如果P含有点u, 那么P必然是一条长度为偶数的路，这样，P+uv是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！ 既然P不含点u, 所以我们可以交换P中着色，而不破坏G1的正常边着色。但交换着色后，u与v均缺色i, 于是由情形1,可以得到G的Δ正常边着色，即证明： * 2、简单图的边色数 引理：设G是简单图，x与y1是G中不相邻的两个顶点，п是G的一个正常k边着色。若对该着色п，x,y1以及与x相邻点均至少缺少一种颜色，则G+xy1是k边可着色的。 正常k边着色图G x1 y1 x x2 xk 缺色 缺色 缺色 缺色 缺色 正常k边着色图G1 x1 y1 x x2 xk * 定理3 (维津定理，1964) 若G是单图，则： 证明：只需要证明 即可。