《二章用函数逼近法进行平面连杆机构综合》教学课件.ppt

用函数逼近法进行平面连杆机构综合 第二章 2-1 函数逼近法的基本思想 插值逼近法 平方差逼近法 最佳逼近法 插值逼近 平方差逼近 最佳逼近 * 近年来，由于计算机的高速发展和广泛应用，机构近似综合法中的函数逼近法得到了很大发展。 函数逼近法基本思想： 简言之，使机构所实现的函数 （即逼近函数）与给定的预期函数 之间产生尽量小的偏差。 首先推导出机构所实现的函数 ，然后与要求实现的预期函数 （该函数事先已被给定）进行比较，求出它们之间的偏差，使得这个偏差尽可能的小，直至满足精度要求。也就是说，我们用机构所实现的函数去尽可能的逼近、接近预期函数，使二者基本上能达到一致。这样的过程，就是函数逼近法的基本思想。 基于不同的数学处理思想，通常采用的函数逼近方法有三种： 插值逼近：通过选取合适的插值结点使逼近函数Fj(x,R1,R2,…)与预期函数F(x)之间的最大偏差尽可能小。 平方差逼近：也称平方逼近，使逼近函数与预期函数之间偏差的平均值最小。 最佳逼近：使最大极限偏差的模为最小。 (2-3) 处理方法：在自变量x的变化区间内取n个点（图2-1），通过取值，使预期函数F(x)与机构所实现的逼近函数Fj(x,R1,R2,…)二者的函数值在该n个点处相等，即使得（2-3）式表示的偏差为0。那么，我们得到由n个方程组成的方程组，其中未知数为机构的待定参数 ，这样以来，只需求解这n个方程组成的方程组，便可获得待定机构的参数，即可方便作出连杆机构的简图。 图 2-1 插值逼近法的几何意义 我们将所选的偏差 的点，称为插值结点。 如何确定插值点的个数n？位置？ 柴贝歇夫公式： （2-5） 图 2-2 可利用半圆投影法获取柴贝歇夫公式（2-5） 需要说明：插值逼近中，偏差的大小不仅与插值结点的分布有关，而且还与插值结点的数目有关，插值结点数越大，则准确实现预期函数的位置越多，因而逼近精度越高。 思路：使得逼近函数y=Fj(x,Rj)与给定的预期函数y=F(x)之间的均方差为最小。 其中，I为自变量的变化区间[x0, xm]，逼近函数与预期函数差值的平方求和。 （当F(x)为连续形式） （当F(x)为离散形式） 图 2-3 平方差逼近的几何说明 特点：采用平方逼近可以使得机构具有较小的累积误差。缺点是在某些点的偏差可能较大。 平方差逼近处理方法： 由于均方偏差△jf为最小，即意味着积分I的值为最小。在此条件下，求解待定机构参数，需要将积分I对各待求机构参数Rj求偏导，并令其为零，得到若干方程组，求解方程组可获得机构参数Rj 。 注意：为了避免求反三角函数，通常采用加权偏差表达式，代替均方偏差表达式。即用一个含有机构待定参数的待定系数P0、P1、P2、…Pn的n阶多项式近似代替均方偏差△jf ，这样可以方便计算求解。 图 2-4 特点：采用最佳逼近法，可以使偏差均匀、一致地趋于最小。其整体逼近效果比插值逼近和平方逼近都要好一些。 以上，简单介绍了机构近似综合中的三种函数逼近法，实质上，关于给定预期运动规律或运动轨迹的机构综合，其中心问题在于如何简便地列出逼近函数与预期函数之间偏差的表达式。 下面一节将以近似实现两连架杆具有给定的转角关系 为例，讨论用插值逼近法综合铰链四杆机构。 2-2 用插值逼近法综合铰链四杆机构 1、构造包括待求机构参数的逼近函数 图2-5 a+b=i+c 根据图2-5，有 （2-15） 该式即为铰链四杆机构包含待求机构参数的逼近函数 的具体形式。 （2-16） （2-17） 该式中包含五个待求的机构参数。那么，当给定了两连架杆的五组对应转角位移，代入式（2-17），可以得到五个方程，联立求解，则得到待求的五个机构参数。进而可以获得机构的简图。 可看出：铰链四杆机构所能满足的两连架杆的对应位置数最多为五组。 （2-18） 这种情况下，只需要三组对应的转角位移代入，求解三个方程，获得三个待求的机构参数。 讨论： （1）给定的对应转角位移 的组数i少于待求机构参数的数目n时，方程的解将不唯一，有很多种可能， （2）当给定的对应转角位移组数多于待求机构参数的数目时，方程式的数目将多于未知数的数目，那么这种情况下，该问题是不可解的。 2、按给定函数y=F(x)进行铰链四杆机构的综合 对于这类问题，首先需要按照一定比例关系，将给定函数 换算